Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 4, exercício 2

Uma função

z = f ( x 1 , … . , x n )

É harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace

∂ 2 z ∂ x 1 2 + ∂ 2 z ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 z ∂ x n 2 = 0

Mostre que a função

z = f x , y = x 3 - 3 x y ²

É harmônica.

Passo 1

Bem, para mostrar que essa função é harmônica, o que temos que fazer é calcular as derivadas parciais de segunda ordem dela e ver se somando tudo, dá zero. Bora lá então.

Começando pela derivada parcial em relação a x .

∂ z ∂ x = 3 x 2 - 3 y ²

∂ 2 z ∂ x ² = 3.2 x 1 = 6 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos para derivada parcial em relação a y .

∂ z ∂ y = - 3.2 x y 1 = - 6 x y

∂ 2 z ∂ y ² = - 6 x

Passo 3

-

Somando as derivadas segundas

∂ 2 z ∂ x ² + ∂ 2 z ∂ y ² = 6 x - 6 x = 0

Ou seja, provamos que a função é harmônica, pois a soma de suas derivadas parciais de segunda ordem é igual a zero.

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