Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

Funções de Várias Variáveis, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia

Sabendo que z = sin ⁡ x + sin ⁡ y , mostre que

δ z δ x δ 2 z δ x δ y = δ z δ y δ 2 z δ x 2

Passo 1

Vamos lá, só pensar pedaço por pedaço que a coisa fica menos assustadora. Veja que temos δ z δ x , δ z δ y , δ 2 z δ x 2 , δ 2 z δ x δ y . Ou seja, temos que encontrar essas derivadas aí e, se derivarmos certinho, essa relação maluca aí do enunciado deve valer :D

Começando pelas primeiras derivadas, temos o seguinte:

z = sin ⁡ x + sin ⁡ y

δ z δ x = cos ⁡ ( x + sin ⁡ y ) . 1

Ou seja, a derivada do seno, vezes a derivada do argumento em relação a x .

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Passo 2

Derivando agora a função z em relação a y , teremos:

z = sin ⁡ x + sin ⁡ y

δ z δ y = cos ⁡ ( x + sin ⁡ y ) . cos ⁡ y

Passo 3

Pegando a derivada em relação a x e derivando de novo em relação a x , obtemos:

δ z δ x = cos ⁡ ( x + sin ⁡ y ) . 1

δ 2 z δ x 2 = - sin ⁡ x + sin ⁡ y . 1

Show, agora já está quase tudo pronto!

Passo 4

Vamos pegar a derivada em relação a x e derivar em relação a y . Aí teremos:

δ z δ x = cos ⁡ ( x + sin ⁡ y )

δ 2 z δ x δ y = - sin ⁡ ( x + sin ⁡ y ) . cos ⁡ y

Bem tranquilinho :D Só derivar tratando a outra variável como constante, e fica que nem em cálculo 1 !

Passo 5

Pronto! Agora só por questões burocráticas vamos garantir que derivamos tudo certinho e mostrar pro avaliador que essa relação que eles deram no enunciado é realmente verdade ;)

δ z δ x δ 2 z δ x δ y = δ z δ y δ 2 z δ x 2

E encontramos que:

δ z δ x = cos ⁡ ( x + sin ⁡ y )

δ z δ y = cos ⁡ ( x + sin ⁡ y ) . cos ⁡ y

δ 2 z δ x 2 = - sin ⁡ x + sin ⁡ y

δ 2 z δ x δ y = - sin ⁡ ( x + sin ⁡ y ) . cos ⁡ y

Colocando esses valores na formula que deram, teremos:

cos ⁡ ( x + sin ⁡ y ) . - sin ⁡ ( x + sin ⁡ y ) . cos ⁡ y = cos ⁡ ( x + sin ⁡ y ) . cos ⁡ y . - sin ⁡ x + sin ⁡ y

E de fato, vemos que um lado é a mesma coisa que o outro!

Resposta

δ z δ x δ 2 z δ x δ y = δ z δ y δ 2 z δ x 2

cos ⁡ ( x + sin ⁡ y ) . - sin ⁡ ( x + sin ⁡ y ) . cos ⁡ y = cos ⁡ ( x + sin ⁡ y ) . cos ⁡ y . - sin ⁡ x + sin ⁡ y

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