Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 31

Seja f :   R 2 → R uma função qualquer. Assinale a única afirmação falsa.

a) Se ∂ 2 f ∂ x ∂ y x 0 ,   y 0 existe, então ∂ 2 f ∂ y ∂ x x 0 ,   y 0 também existe.

b) Se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são funções de classe C 2 em R 2 , então para todo x ,   y ∈ R 2 tem-se ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y .

c) Se f é uma função de classe C 2 em R 2 , então as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são diferenciáveis em R 2 .

d) Se ∂ f ∂ u x 0 ,   y 0 = 0 para todo vetor unitário u → ∈ R 2 , então ∇ f x 0 ,   y 0 = 0 ,   0 .

e) Se f x ,   y ≤ x 2 + y 2 para todo x ,   y ∈ R 2 , então f é diferenciável em 0 ,   0 .

Passo 1

Eai pessoal, beleza? Prontos para mais uma questão teórica? Partiu!!!

Temos que achar a afirmativa falsa, então vamos olhar para a primeira: Se ∂ 2 f ∂ x ∂ y x 0 ,   y 0 existe, então ∂ 2 f ∂ y ∂ x x 0 ,   y 0 também existe. Basicamente, o que ela diz é que se a segunda derivada mista existe numa ordem, ela vai existir com a ordem trocada. Isso tem cara de ser verdade na maioria dos casos, mas deve existir algum exemplo que isso não é verdade...

Para isso vamos tentar uma situação com uma função que sabemos não ser derivável: o módulo!

f x , y = x

Como ela não depende de y , temos que

∂ f ∂ y x ,   y = 0 ,         ∀   x ,   y ∈ R 2

Assim, derivando agora com relação a x :

∂ 2 f ∂ x   ∂ y x ,   y = 0 ,       ∀   x ,   y ∈ R 2

Legal, nessa ordem (primeiro y depois x ) a derivada existe em qualquer ponto!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos inverter a ordem: derivar primeiro em x ! Sabemos que a derivada do módulo é - 1 se x < 0 , 1 se x > 0 e não existe para x = 0 . Assim, no ponto 0 ,   0 não existe a derivada de f com relação a x :

∂ f ∂ x 0 ,   0     n ã o   e x i s t e

Assim,

∂ 2 f ∂ y   ∂ x 0 ,   0     n ã o   e x i s t e

Vemos que nessa ordem a segunda derivada mista não existe.

Com isso, achamos um contra exemplo para a afirmação: ela é falsa! Como o enunciado disse que só tem uma afirmativa falsa, já podemos assinalar a alternativa A 😉

Resposta

Alternativa A.

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