Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia

Sejam f , g : R → R funções diferenciáveis. Mostre que u x , t = f x + a t + g x - a t , em que a ≠ 0 , satisfaz a equação de onda u t t = a 2 u x x .

Passo 1

Que questão confusa... Bom, se ele deu u , que é uma função de x e t , e chega numa parada que tem a segunda derivada de u em relação a x e em relação a t , então parece uma boa ideia começar calculando essas derivadas, seja lá o que formos fazer com elas...

Então vamos lá, derivada de u em relação a x :

u x , t = f x + a t + g x - a t

u x x , t = δ f x + a t δ x   . x d x + δ g x - a t δ x   . x d x

E isso foi nada mais do que aplicar a regra da cadeia :D coloquei o x d x só pra não parecer muito passo voodoo, mas na real sabemos que a derivada de x em relação a x é 1!

Agora fazemos a mesma coisa, derivando em relação a x de novo:

u x x x , t = δ f x + a t δ x δ x   . 1 + δ g x - a t δ x δ x   . 1

u x x x , t = δ f ' ' x + a t + δ g ' ' x - a t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora vamos encontrar as outras derivadas parciais, em relação a t :

u x , t = f x + a t + g x - a t

u t x , t = f ' x + a t   . a t d t + g ' x - a t . - a t d t

E como a derivada de a t em relação a t é a ,

u t x , t = f ' x + a t   . a + g ' x - a t . - a

E derivando novamente,

u t t x , t = f ' ' x + a t   . a . a t d t + g ' ' x - a t . a . - a t d t

u t t x , t = f ' ' x + a t   . a 2 + g ' ' x - a t . a 2

Passo 3

Bom, se tivermos derivado certo, o que ele disse no enunciado tem que valer! Então vamos ver, se pegamos as derivadas parciais em relação a x e em relação a t , devemos verificar que:

u t t = a 2 u x x

Bom, temos que

u t t x , t = f ' ' x + a t   . a 2 + g ' ' x - a t . a 2

e temo que

u x x x , t = δ f ' ' x + a t + δ g ' ' x - a t

Então a relação é realmente válida! Já que:

u x x x , t   .   a 2 = a 2 . δ f ' ' x + a t + a 2 . δ g ' ' x - a t = u t t x , t

Resposta

u x x x , t   .   a 2 = a 2 . δ f ' ' x + a t + a 2 . δ g ' ' x - a t = u t t x , t

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas