Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 4, exercício 5

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

z = f x , y = y 3 + 3 x ² y

Passo 1

Uma função

z = f ( x 1 , … . , x n )

Satisfaz a equação de Laplace se

∂ 2 z ∂ x 1 2 + ∂ 2 z ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 z ∂ x n 2 = 0

Assim, o que temos que fazer é calcular as derivadas parciais de segunda ordem dessa função e ver se somando tudo, dá zero. Bora lá então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pela derivada parcial em relação a x .

A derivada primeira é

∂ z ∂ x = 6 x y

E a derivada segunda é

∂ 2 z ∂ x ² = 6 y

Passo 3

Agora vamos para derivada parcial em relação a y .

A derivada primeira é

∂ z ∂ y = 3 y 2 + 3 x ²

E a derivada segunda é

∂ 2 z ∂ y ² = 6 y

Passo 4

Somando as derivadas segundas

∂ 2 z ∂ x ² + ∂ 2 z ∂ y ² = 6 y + 6 y = 12 y ≠ 0

Ou seja, a função não satisfaz a equação de Laplace, pois a soma de suas derivadas parciais de segunda ordem não é igual a zero.

Resposta

Não satisfaz

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