Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 4, exercício 7

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

z = f x , y = arctan ⁡ x y

Passo 1

Uma função

z = f ( x 1 , … . , x n )

Satisfaz a equação de Laplace se

∂ 2 z ∂ x 1 2 + ∂ 2 z ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 z ∂ x n 2 = 0

Assim, o que temos que fazer é calcular as derivadas parciais de segunda ordem dessa função e ver se somando tudo, dá zero. Bora lá então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pela derivada parcial em relação a x .

Pela regra da cadeia, temos que a derivada primeira é

∂ z ∂ x = 1 1 + x y 2 ∙ 1 y = 1 y + x 2 y = 1 y 2 + x 2 y

∂ z ∂ x = y x 2 + y 2

E a derivada segunda é

∂ 2 z ∂ x ² = - 2 x y x ² + y ² 2

Passo 3

Agora vamos para derivada parcial em relação a y .

Pela regra da cadeia, temos que a derivada primeira é

∂ z ∂ y = 1 1 + x y 2 ∙ - x y 2

∂ z ∂ y = - x y ² + x ²

E a derivada segunda é

∂ 2 z ∂ y ² = + 2 x y x 2 + y 2 2

Passo 4

Somando as derivadas segundas

∂ 2 z ∂ x ² + ∂ 2 z ∂ y ² = - 2 x y x ² + y ² 2 + 2 x y x 2 + y 2 2 = 0

Ou seja, a função satisfaz a equação de Laplace, pois a soma de suas derivadas parciais de segunda ordem é igual a zero.

Resposta

Satisfaz

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