Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Calculo 2 – UFPE – 1° EE

Considere a função f : R 2 → R dada por

f x , y = x y x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

  1. Calcule ∂ f / ∂ x e   ∂ f / ∂ y
  2. f é diferenciável? Justifique.

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais em x e em y da nossa função.

Temos que tomar muito cuidado neste caso para não fazermos pela metade a questão!

Como assim pela metade? Começaremos derivando para os pontos x , y ≠ 0,0 . Para eles, basta pegarmos a seguinte função

f x , y = x y x 2 + y 2

E calcularmos as derivadas parciais. Se a gente pensa que y é uma constante e derivamos em relação a x , temos:

∂ f ∂ x = y ⋅ x 2 + y 2 - x y ⋅ 2 x x 2 + y 2 2 = y ⋅ y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Agora, se a gente considera que x é uma constante e deriva em relação a y , temos:

∂ f ∂ y = x ⋅ x 2 + y 2 - x y ⋅ 2 y x 2 + y 2 2 = x ⋅ x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas percebam que só derivamos para os pontos x , y ≠ 0,0 . Não sabemos quais as derivadas parciais quando x , y = 0,0 . É por isso que deixamos claro que não é para fazermos apenas a metade da questão!

E como temos que fazer neste caso? Precisamos aplicar a derivada pela definição. Portanto,

f x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h , 0 - f 0,0 h = lim h → 0 ⁡ h ⋅ 0 h 2 + 0 2 - 0 h = lim h → 0 ⁡ 0 h = 0

f y 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0,0 + h - f 0,0 h = lim h → 0 ⁡ 0 ⋅ h 0 2 + h 2 - 0 h = lim h → 0 ⁡ 0 h = 0

Portanto, as derivadas parciais da nossa função são:

f x x , y = ∂ f ∂ x = y ⋅ y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

E

f y x , y = ∂ f ∂ y = x ⋅ x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

Resposta

As derivadas parciais da nossa função são:

f x x , y = ∂ f ∂ x = y ⋅ y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

E

f y x , y = ∂ f ∂ y = x ⋅ x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

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