Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 6, exercício 3.

Seja

z = x f y x - g y x

Onde f e g são de classe C ¹ em R . Mostre que

z x + y x   z y = f y x

Passo 1

Primeiro, vamos entender quem é quem aí.

z = z x , y

f = f ( u )

g = g ( u )

u = y x

Então, para mostrar essa igualdade aí, precisamos encontrar as derivadas parciais. E, para isso, teremos que usar a regra da cadeia.

Vamos lá então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

As derivadas parciais da nossa função z serão:

z x = 1 . f u + x . f x u - g x u

z y = x f y u - g y u

Passo 3

Agora, para calcular as derivadas parciais de f e de g vamos usar a regra da cadeia.

Começando por f x :

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u . ∂ u ∂ x

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u . - y x 2

Agora f y :

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u . ∂ u ∂ y

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u . 1 x

Agora g x :

∂ g ∂ x = ∂ g ∂ u . ∂ u ∂ x

∂ g ∂ x = ∂ g ∂ u . - y x 2

E, por fim, g y :

∂ g ∂ y = ∂ g ∂ u . ∂ u ∂ y

∂ g ∂ y = ∂ g ∂ u . 1 x

Repare que o que fizemos aqui foi a mesma coisa que fazemos na regra da cadeia que aprendemos em calculo 1: derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro.

Eu coloquei na notação da regra da cadeia de cálculo 2, só pra você ver que é tudo a mesma coisa!

Passo 4

Vamos substituir esses resultados nas expressões das derivadas parciais de z .

z x = 1 . f u + x . f x u - g x u

z x = f u + x . ∂ f ∂ u . - y x 2 - ∂ g ∂ u . - y x 2

z x = f u - ∂ f ∂ u . y x + ∂ g ∂ u . y x 2

E

z y = x f y u - g y u

z y = x ∂ f ∂ u . 1 x - ∂ g ∂ u . 1 x

z y = ∂ f ∂ u - ∂ g ∂ u . 1 x

Passo 5

-

Agora, analisando as expressões de z x e z y , podemos ver que

f u - ∂ f ∂ u . y x + ∂ g ∂ u . y x 2 + y x ∂ f ∂ u - ∂ g ∂ u . 1 x = f u = f y x

Ou seja,

z x + y x   z y = f y x

Como queríamos demonstrar

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