Exercícios Resolvidos de Diagonalização de Operadores Complexos

P3-USP-MAT2458. Ano: 2012. Questão 15

Considere o espaço vetorial vetorial complexo C 4 e seja T :   C 4 → C 4 um operador linear tal que T c a n ∈ M 4 ( R ) . Considere também as seguintes afirmações:

  1. Se λ é é um autovalor real de T então a multiplicidade algébrica de λ é igual a 2;
  2. Se dim ⁡ K e r T = 2   e   T tem um autovalor complexo não real então T   é diagonalizável;
  3. Se T c a n é uma matriz simétrica então todos os autovalores de T são reais.

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;
  2. Apenas a afirmação (III) é verdadeira;
  3. Apenas a afirmação (II) é verdadeira;
  4. Todas as afirmações são verdadeiras;
  5. Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

Passo 1

Vamos analisar as afirmações sobre um operador T : C 4 → C 4 , tal que T C a n ∈ M 4 ( C ) .

Nós já vimos algumas propriedades desses operadores certo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Afirmação ( I ) :

Essa é fácil: podemos ter λ com multiplicidade 4. Logo é falsa a afirmação.

Passo 3

Afirmação ( I I ) :

Se dim ⁡ ker ⁡ T = 2 , temos 0 como autovalor de multiplicidade algébrica e geométrica 2. Logo se tivermos um autovalor λ ∈ C - R teremos também o autovalor λ - , e portanto o operador será diagonálizavel, já que a soma das multiplicidades geométricas será 4.

Passo 4

Afirmação ( I I I ) :

Essa a gente mostra com o Teorema Espectral. Já que T C a n ∈ M 4 ( R ) , tudo acontece como se não estivéssemos trabalhando com complexos, e estaremos dentro das condições do Teorema Espectral.

Resposta

( a ) Apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são verdadeiras

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