Exercícios Resolvidos de Diagonalização

Curso de Álgebra Linear, Fundamentos e Aplicações Terceira Edição, Marco Cabral e Paulo Golfeld, página 211 Prob. 7.12

Considere A x , y , z = x + y 2 , x + y 2 ,   z . Determine P e Q tais que:

a   P - 1 A P = 1 0 0 0 1 0 0 0 0

b   Q - 1 A Q = 1 0 0 0 0 0 0 0 1

Passo 1

A questão nos pede para escrevermos matrizes P ,   Q de acordo com as equações. E o que essas equações te lembram?

Diagonalização!! Isso mesmo, então sabemos que A é diagonalizável e ele quer que a gente descubra as matrizes dos autovetores que faltam! Mas tem uma diferença entre as duas letras. Repare que a ordem nas diagonais estão trocadas, isso também altera a ordem dos autovetores. Sendo assim, vamos aos cálculos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a   Sabendo que temos dois autovalores diferentes, calculá-los:

Para λ = 1 :

  A x , y , z = x + y 2 , x + y 2 ,   z = 1 ⋅ x , y , z ⇒

x + y 2 = x ⇒ x + y = 2 x ⇒ x = y x + y 2 = y ⇒ 2 y 2 = y ⇒ y = y z = z

Bom assim, temos que nosso autoespaço será:

x , y , z = y , y , z = y 1,1 , 0 + z 0,0 , 1

E assim:

V λ = 1 = s p a n 1,1 , 0 , 0,0 , 1

E já era de se esperar que a dimensão fosse 2 , já que o autovalor se repete duas vezes.

Para λ = 0 :

A x , y , z = x + y 2 , x + y 2 ,   z = 0 ⋅ x , y , z ⇒

x + y 2 = 0 ⇒ x = - y x + y 2 = 0 z = 0

E assim:

x , y , z = - y , y , 0 = y - 1,1 , 0

V λ = 0 = s p a n - 1,1 , 0

Passo 3

Agora já podemos montar nossa matriz de autovetores! Como o autovalor 1 vem primeiro na matriz diagonal:

P = 1 0 - 1 1 0 1 0 1 0

Passo 4

b   Aqui vamos usar o mesmo procedimento da letra a , como já sabemos os autovetores basta seguir a ordem da matriz diagonal e como ordem dos autovalores é 1 ,   0 ,   1 :

Q = 1 - 1 0 1 1 0 0 0 1

OBS: A ordem dos autovetores associados ao λ = 1 não importa.

Resposta

a   P = 1 0 - 1 1 0 1 0 1 0

b   Q = 1 - 1 0 1 1 0 0 0 1

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