Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 32

Seja f :   R 2 → R uma função qualquer. Assinale a única afirmação verdadeira.

a) Se f x ,   y ≤ x 2 + y 2 para todo x ,   y ∈ R 2 , então f é diferenciável em 0 ,   0 .

b) Se ∂ 2 f ∂ x ∂ y x 0 ,   y 0 existe, então ∂ 2 f ∂ y ∂ x x 0 ,   y 0 também existe.

b) Se as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são diferenciáveis em R 2 , então f é uma função de classe C 2 em R 2 .

c) Se f é uma função de classe C 2 em R 2 , então as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são diferenciáveis em R 2 .

d) Se ∇ f x 0 ,   y 0 = 0 ,   0 , então ∂ f ∂ u → x 0 , y 0 = 0 para todo vetor unitário u → ∈ R 2 .

e) Se ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y para todo x ,   y ∈ R 2 , então as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são de classe C 1 em R 2 .

Passo 1

Eai pessoal, beleza? Prontos para mais uma questão teórica? Partiu!!!

Nosso objetivo é achar a afirmativa verdadeira. Seguindo a ordem natural, começamos pela primeira afirmativa: Se f x ,   y ≤ x 2 + y 2 para todo x ,   y ∈ R 2 , então f é diferenciável em 0 ,   0 .

A primeira coisa que você deve perceber é que

0 ≤ f 0 ,   0 ≤ 0 2 + 0 2 = 0

Portanto,

f 0 ,   0 = 0

Vamos tentar calcular a derivada parcial com relação a f pela definição:

∂ f ∂ x a ,   b = lim t → 0 ⁡ f a + t ,   b - f a ,   b t

No ponto ( 0 ,   0 ) :

∂ f ∂ y 0 ,   0 = lim t → 0 ⁡ f t ,   0 - f ( 0 ,   0 ) t = lim t → 0 ⁡ f t ,   0 t

Mas sabemos que

f t ,   0 ≤ t 2 + 0 2 = t 2

Portanto,

0 ≤ lim t → 0 ⁡ f t ,   0 t ≤ lim t → 0 ⁡ t 2 t

Mas o limite da direita dá zero, de modo que lim t → 0 ⁡ f t ,   0 t fica “sanduichado” entre zeros:

lim t → 0 ⁡ f t ,   0 t = 0

Se o limite em módulo dá zero, o limite sem o módulo também é zero:

lim t → 0 ⁡ f t ,   0 t = 0

Assim,

∂ f ∂ x 0 ,   0 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Com relação a y , temos que

∂ f ∂ y 0 ,   0 = lim t → 0 ⁡ f 0 , t - f ( 0 ,   0 ) t = lim t → 0 ⁡ f 0 ,   t t

Mas

f 0 ,   t ≤ 0 2 + t 2 = t 2

Fazendo exatamente a mesma coisa que fizemos na derivada com relação a x (é literalmente a mesma coisa, já que a relação acima é a mesma), obtemos

∂ f ∂ y 0 ,   0 = 0

Passo 3

Falta agora ver se f é diferenciável em 0 ,   0 . Para isso, você precisa lembrar do limitão:

L = lim h , k → 0 ,   0 ⁡ f 0 + h ,   0 + k - f 0 ,   0 - ∂ f ∂ x 0 ,   0 h - ∂ f ∂ y 0 ,   0 k h 2 + k 2

Assim, usando as derivadas parciais calculadas nos passos anteriores e f 0 ,   0 = 0 , obtemos

L = lim h , k → 0 ,   0 ⁡ f h ,   k h 2 + k 2

Agora note que

f h ,   k ≤ h 2 + k 2

Logo,

f h ,   k h 2 + k 2 ≤ h 2 + k 2

Assim,

lim h , k → 0 ,   0 ⁡ f h ,   k h 2 + k 2 ≤ lim h , k → 0 ,   0 ⁡ h 2 + k 2 = 0

Desta forma,

lim h , k → 0 ,   0 ⁡ f h ,   k h 2 + k 2 = 0

Com isso,

L = lim h , k → 0 ,   0 ⁡ f h ,   k h 2 + k 2 = 0

Como o limitão existe, f é derivável nesse ponto e afirmativa é verdadeira! Como só uma afirmativa é verdadeira (o enunciado disse), já podemos assinalar a alternativa A como resposta!

Resposta

Alternativa A.

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