Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

UFF - Cálculo IA - P2 Sérgio Almaraz 2010.1 – 2 a

Considere

f x = 1 - 2 sen x ,     x - ,   0 x - 1 2 ,                           x 0 ,   1 x 2 ln x ,                             x 1 ,  

Determine os pontos onde f não é derivável.

Passo 1

a Observando a lei de definição de f percebemos que exceto nos pontos x = 0 e x = 1 , f é composta por funções deriváveis em seus domínios. A saber, sen x , x 2 , ln x (para x > 0 ) e constantes ( 1 e 2 ). E sabemos que a subtração, multiplicação e composição de funções deriváveis é derivável.

Então, os únicos candidatos a ponto onde a função é não derivável são x = 0 e x = 1 . Portanto, temos que analisá-los.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ver se são contínuas nos dois pontos. Primeiro x = 0 :

lim x 0 - f x = lim x 0 + f x = f 0

lim x 0 - 1 - 2 sen x = lim x 0 + x - 1 2 = 0 - 1 2

1 - 2 0 = - 1 2 = 1

1 = 1 = 1

Agora vamos fazer em x = 1 :

lim x 1 - f x = lim x 1 + f x = f 1

lim x 1 - x - 1 2 = lim x 1 + x 2 ln x = 1 2 ln 1

1 - 1 2 = 1 2 ln 1 = 0

0 = 0 = 0

Os dois pontos são contínuos! Ainda não podemos afirmar se a função é diferenciável, mas podemos derivá-la e comparar suas derivadas laterais nesses pontos.

Passo 3

Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade no ponto.

Calculando a derivada pela esquerda no ponto x = 0 .

f x - = 1 - 2 sen x ' = - 2 cos x

f 0 - = - 2 cos 0 = - 2

Para a direita de x = 0 , teremos:

f x + = x - 1 2 ' = 2 x - 1

f 0 + = 2 0 - 1 = - 2

Bateram no mesmo valor! Portanto, f é derivável em x = 0 .

Passo 4

Calculando a derivada pela esquerda no ponto x = 1 .

f x - = x - 1 2 ' = 2 x - 1

f 1 - = 2 1 - 1 = 0

Para a direita de x = 0 , teremos:

f x + = x 2 ln x ' = 2 x ln x + x 2 1 x

= 2 x ln x + x

f 1 + = 2 1 ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1

A conclusão é que f não é derivável em x = 1 .

Resposta

A   f u n ç ã o   f   n ã o   é   d e r i v á v e l   e m   x = 1 ,   p o i s   s u a s   d e r i v a d a s   l a t e r a i s   s ã o   d i f e r e n t e s .

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