Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

PUC-RJ - P1 - 2010.2 - 4

Considere a função definida por:

f x = x 2 - 3 x + a s e   x < 5 2 s e   x = 5 x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b s e   x > 5

a Dê um exemplo de valores para a e b tal que exista lim x 5 f x , porém f não seja contínua em x = 5

b Determine a e b de forma que f seja contínua em x = 5

c Para os valores de a e b obtidos no item b anterior, existe f ' 5 ?

Passo 1

( a ) Ele quer que exista o limite. Temos, então, que achar esse limite primeiro. A função tem uma forma antes de 5 e uma forma depois de 5 , temos que calcular os limites laterais então, começando com x 5 -

lim x 5 - f x = lim x 5 - x 2 - 3 x + a = 5 2 - 3.5 + a = 25 - 15 + a = 10 + a

Agora, temos que achar o limite pela direita, ou seja, x 5 +

lim x 5 + f x = lim x 5 + x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b = lim x 5 + x 2 - 6 x + 5 x - 5 + lim x 5 + b = lim x 5 + x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b

Tudo se resume a achar

lim x 5 + x 2 - 6 x + 5 x - 5

Se substituirmos os valores vamos ter

lim x 5 + x 2 - 6 x + 5 x - 5 = 5 2 - 6.5 + 5 5 - 5 = 25 - 30 + 5 0 = 0 0

Que é uma indeterminação, temos que dar uma arrumada nisso

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fatorar aquele polinômio de segundo grau que está no numerador da fração

x 2 - 6 x + 5

Lembra como fatora um polinômio de 2 º grau? Ele tem a forma a x 2 + b x + c , temos que achar suas raízes, e depois ele fatorado vai ficar a x - x 1 x - x 2 com x 1 e x 2 sendo suas raízes.

Vamos as raízes de x 2 - 6 x + 5 , usando a fórmula da equação quadrática vamos ter

x 1 = - - 6 + - 6 2 - 4.5 . 1 2.1 = 6 + 36 - 20 2 = 6 + 16 2 = 6 + 4 2 = 10 2 = 5

x 2 = - - 6 - - 6 2 - 4.5 . 1 2.1 = 6 - 36 - 20 2 = 6 - 16 2 = 6 - 4 2 = 2 2 = 1

A fatoração vai ficar

x - 5 x - 1

Passo 3

Voltando ao limite

lim x 5 + x 2 - 6 x + 5 x - 5 = lim x 5 + x - 5 x - 1 x - 5 = lim x 5 + x - 1 = 5 - 1 = 4

E o limite de f x vai ficar

lim x 5 + f x = lim x 5 + x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b = lim x 5 + x 2 - 6 x + 5 x - 5 + lim x 5 + b =

lim x 5 + x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b = 4 + b

Passo 4

Para o limite existir os limites laterais devem ser iguais então devemos ter

10 + a = 4 + b

Ele quer que a função não seja contínua, então devemos ter esse valor diferentes de 2 , que é o valor da função no ponto, assim temos

10 + a 2

E

4 + b 2

Arrumando essas duas “equações”

a - 8

E

b - 2

Basta pegarmos um valor de b diferente de - 2 e a diferente de 8 , vamos fazer

a = 0

Assim vamos ter

b + 4 = a + 10 b + 4 = 0 + 10

b + 4 = 10

b = 6

Então temos a = 0 e b = 6 .

Passo 5

b Agora ele quer que seja contínuo, basta tirar aquele diferente e colocar um igual

6 + a = b = - 2

Isso nos diz que

b = - 2

6 + a = - 2

a = - 8

E vamos ter a = - 8 e b = - 2 para a função ser contínua

Passo 6

( c ) Antes de qualquer coisa vamos dar uma arrumada na função f , na verdade já arrumamos, só quero escrever o que achamos

f x = x 2 - 3 x + a s e   x < 5 2 s e   x = 5 x - 5 x - 1 x - 5 - 2 s e   x > 5

f x = x 2 - 3 x - 8 s e   x < 5 2 s e   x = 5 x - 1 - 2 s e   x > 5

f x = x 2 - 3 x - 8 s e   x < 5 2 s e   x = 5 x - 3 s e   x > 5

Beleza, agora ele quer saber se a função tem derivada no ponto x = 5 , para isso temos que achar a derivada antes de 5 e depois de 5 .

Passo 7

Como são contínuas, podemos derivá-las normalmente pelos lados.

Vamos lá, começando com a função para x < 5

f ' x - = x 2 - 3 x - 8 ' = 2 x - 3

f ' 5 - = 2 x - 3 = 2 5 - 3

= 7

Vamos agora para x > 5

f ' x + = x - 3 ' = 1

f ' 5 + = 1

Como os valores das derivadas são diferentes pela direita e pela esquerda, ele não tem derivada nesse ponto.

f ' 5 - = 7 1 = f ' 5 +

f ' 5 - f ' 5 +

Resposta

( a )     a = 0   e   b = 6

( b )     a = - 8   e   b = - 2   p a r a   a   f u n ç ã o   s e r   c o n t í n u a

( c )   N ã o   e x i s t e

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