Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

PUCRIO, Cálculo 1 - MAT1161, G1 - 2014.1, Questão 4b

Decida se a proposição abaixo é falsa ou verdadeira, justificando:

Se f não é derivável em x = 0 , então lim x 0 f x f 0

Passo 1

Vamos começar tentando entender o que ele está falando ali, ele começou afirmando que a função f não é derivável em x = 0 , e disse que isso faz com que se tenha

lim x 0 f x f 0

A função ser derivável ou não é de boa, mas o que é isso que ele afirmou no final?

Ele quer dizer que o limite da função quando x tende a 0 é diferente do valor da função em x = 0 , isso te lembra alguma coisa?

Quando temos o limite sendo igual ao valor da função isso quer dizer que a função é contínua.

Isso quer dizer que a afirmação dele na verdade é

Se f não é derivável em x = 0 , então ela não é contínua.

Mas isso não é verdade, podemos ter funções que não são deriváveis mas que sejam contínuas em x = 0 . Um exemplo seria

f x = x

Essa é a função módulo, podemos escrever essa função assim

f x = - x x < 0 x x 0

Assim o gráfico vai ficar

E ela é contínua, mas a sua derivada vai ser

f ' x = - 1 x < 0 1 x 0

E isso vai dizer que sua derivada em x = 0 não existe mas ela é contínua, isso é um contra exemplo dessa afirmação

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Resposta

Falso

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