Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Cálculo 2 CEFET-RJ, P1 Prof. Rodrigo Peres, questão 2

A função

f x , y = x 2 x 2 + y 2 , s e x , y 0,0 0 , s e x , y = 0,0

é diferenciável na origem?

Passo 1

Vamos primeiro testar a continuidade da função.

Para essa função ser contínua na origem, basta que o limite dela, na origem, seja o proprio valor que ela assume no ponto ( 0,0 ) , ou seja,

l i m x , y 0,0 x 2 x 2 + y 2 = 0

Mas, aqui vem um truque: é muito mais fácil provar que o limite não existe!

Não custa nada, e quer ver como é rápido de fazer isso?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos calcular o valor do limite pra uma infinadade de caminhos, então vamos escolher os mais fáceis! Uma boa é testar primeiro x = 0 e y = 0 . Então vamos lá:

x = 0 l i m x , y 0,0 x 2 x 2 + y 2 = l i m y 0 0 0 + y 2 = 0

Passo 3

Agora testando y = 0 :

y = 0 l i m x , y 0,0 x 2 x 2 + y 2 = l i m x 0 x 2 x 2 + 0 = 1

Opa! Obtivemos 2 resultados diferentes! Portanto o limite não existe, e a função não é contínua na origem.

Passo 4

E sabemos que

n ã o   c o n t í n u a n ã o   d i f e r e n c i á v e l

Logo, f não é diferenciável na origem.

Resposta

A função não é diferenciável em ( 0,0 ) .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas