Exercícios Resolvidos de Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 208, exercício 11

Calcule a diferencial:

  1. w = x y z
  2. x = e 2 u + 2 v - t 2
  3. w =   x 2 + y 2 1 + z 2
  4. s = 1 + x 2 y z

Passo 1

  1. A primeira coisa a fazer para calcular a diferencial de uma função, é encontar essa função. O problema já a fornece claramente:
  2. w = x y z

    Então sabemos que:

    d w = w x d x + w y d y + w z d z

    Vamos calcular as derivadas parciais

    Passo 2

    Calculando w x temos:

    w x = y z

    Calculando w y temos:

    w y = x z

    Calculando w z temos:

    w z = x y

    Passo 3

    Agora é só substituir na equação :

    d w = y z d x + x z d y + x y d z

    Passo 4

  3. Vamos seguir o mesmo passo a passo do item a). A função já é conhecida:
  4. x = e 2 u + 2 v - t 2

    Perceba que x é função de u , v , t . Então, a diferencial será:

    d x = x u d u + x v d v + x t d t

    Passo 5

    Calculando x u temos:

    x u = 2 e 2 u + 2 v - t 2

    Calculando x v temos:

    x v = 2 e 2 u + 2 v - t 2

    Calculando x t temos:

    x t = - 2 t e 2 u + 2 v - t 2

    Passo 6

    Agora é só substituir na equação :

    d x = 2 e 2 u + 2 v - t 2 d u + 2 e 2 u + 2 v - t 2 d v - 2 t e 2 u + 2 v - t 2 d t

    Passo 7

  5. A função é:
  6. w =   x 2 + y 2 1 + z 2

    Então, a diferencial será:

    d w = w x d x + w y d y + w z d z

    Passo 8

    Calculando w x :

    Lembre-se de que estamos derivando apenas em relação a x . Todas as outras variáveis são tratadas como ”constantes” na hora de derivar.

    w x = 2 x 1 + z 2

    Calculando w y temos:

    w y = 2 y 1 + z 2

    Calculando δ w δ z :

    Perceba que w = x 2 + y 2 1 + z 2 = x 2 + y 2 1 + z 2 - 1 . Então temos:

    w z = x 2 + y 2 - 1 1 + z 2 - 2 2 z = - 2 z x 2 + y 2 1 + z 2 2

    Passo 9

    Agora é só substituir na equação :

    d w = 2 x 1 + z 2 d x + 2 y 1 + z 2 d y - 2 z x 2 + y 2 1 + z 2 2 d z

    Passo 10

  7. A função é:

s = 1 + x 2 y z

Então, a diferencial será:

d s = s x d x + s y d y + s z d z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando s x :

Perceba que ( f x c ) x , onde c é uma constante, é: c f x c - 1 f ' x . No caso temos:

s x = y z 1 + x 2 y z - 1 ( 2 x )

Calculando s y temos:

Lembre-se de que δ ( c f y ) δ y , onde c é uma constante, é: c f y ln c f ' y

s y = 1 + x 2 y z l n ( 1 + x 2 ) ( z )

Calculando s z :

s z = 1 + x 2 y z l n ( 1 + x 2 ) ( y )

Passo 3

Agora é só substituir na equação :

d s = 2 x y z 1 + x 2 y z - 1 d x + z ln 1 + x 2 1 + x 2 y z d y + y ln 1 + x 2 1 + x 2 y z d z

Resposta

  1. d w = y z d x + x z d y + x y d z
  2. d x = 2 e 2 u + 2 v - t 2 d u + 2 e 2 u + 2 v - t 2 d v - 2 t e 2 u + 2 v - t 2 d t
  3. d w = 2 x 1 + z 2 d x + 2 y 1 + z 2 d y - 2 z x 2 + y 2 1 + z 2 2 d z
  4. d s = 2 x y z 1 + x 2 y z - 1 d x + z ln 1 + x 2 1 + x 2 y z d y + y ln 1 + x 2 1 + x 2 y z d z

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