Exercícios Resolvidos de Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2017.1, Questão 2

Considere

z = x 2 + x y + y 2

  1. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f em ( 1,1 ) ; e também a diferencial d z
  2. Numa vizinhança de ( 1,1 ) , calcule Δ z e d z considerando as variações Δ x = 0,1 e Δ y = 0,2
  3. O que significa a diferença entre os valores que você encontrou no item anterior em termos práticos? Justifique.

Passo 1

a )

Opa, plano tangente. É só seguir o passo a passo.

Primeiro vamos jogar tudo pra um lado só na equação da superfície e chamar de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = x 2 + x y + y 2 - z

O gradiente de F é:

F = 2 x + y , 2 y + x , - 1

No ponto de tangencia ( 1,1 ) :

F = 2 . 1 + 1 , 2 . 1 + 1 , - 1

F = ( 3,3 , - 1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, a equação do plano tangente é

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 F = 0

Os valores de ( x 0 , y 0 ) já temos: ( 1,1 ) .

Agora vamos encontrar z 0 :

z 0 = 1 2 + 1.1 + 1 2 = 3

Voltando a equação do plano tangente então:

x - 1 , y - 1 , z - 3 ( 3,3 , - 1 ) = 0

3 x - 1 + 3 y - 1 - z - 3 = 0

z = 3 + 3 x - 1 + 3 ( y - 1 )

Passo 3

A diferencial d z é dada por

d z = f x x 0 , y 0 d x + f y x 0 , y 0 d y

As derivadas parciais nós já calculamos no passo 1. Assim,

d z = 2 x + y d x + 2 y + x d y

Passo 4

b )

Agora temos que calcular Δ z e d z .

Vamos começar por Δ z . Vê se você concorda comigo:

Δ z = z f i n a l - z i n i c i a l

Δ z = z x + Δ x , y + Δ y - z ( x , y )

No nosso caso, temos ( x , y ) variando de ( 1,1 ) até 1 + 0,1 , 1 + 0,2 , ou seja

Δ z = z 1 + 0,1 , 1 + 0,2 - z ( 1,1 )

Δ z = z 1 , 1 ; 1 , 2 - z ( 1,1 )

Vamos então calcular z 1 , 1 ; 1 , 2 porque z ( 1,1 ) já calculamos na letra a .

z 1 , 1 ; 1 , 2 = 1,1 2 + 1,1.1,2 + 1,2 2

z 1 , 1 ; 1 , 2 = 3,97

Então, nosso Δ z vai ser

Δ z = 3,97 - 3

Δ z = 0 , 97

Passo 5

Agora falta calcular o diferencial d z .

Pra isso é só substituir na fórmula mesmo.

Na letra a achamos

d z = 2 x + y d x + 2 y + x d y

Então, quando temos ( x , y ) variando de ( 1,1 ) até 1 + 0,1 , 1 + 0,2 , ficamos com

d z = 2 . 1 + 1 0,1 + 2 . 1 + 1 0,2

d z = 0,2 + 0,1 + 0,4 + 0,2

d z = 0,9

Passo 6

c )

Δ z = 0,97 representa a variação da função z quando ( x , y ) varia de ( 1,1 ) até 1 + 0,1 , 1 + 0,2 .

d z = 0,9 representa a variação da aproximação linear de z em torno do ponto ( 1,1 ) quando ( x , y ) varia de ( 1,1 ) até 1 + 0,1 , 1 + 0,2 .

Geometricamente falando, Δ z representa a diferença de altura no gráfico da função quando essa variaão de ( x , y ) ocorre e d z representa a diferença de altura no plano tangente da função (aproximação linear).

Dessa forma, a diferença

Δ z - d z = 0,97 - 0,9 = 0,07

Significa que cometemos um erro de 0,07 unidades quando calculamos o valor de z a partir da aproximação linear e não a partir da própria função.

Resposta

  1. z = 3 + 3 x - 1 + 3 ( y - 1 ) e d z = 2 x + y d x + 2 y + x d y
  2. Δ z = 0,97 e d z = 0,9

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