Exercícios Resolvidos de Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2012.2, Questão 5

Seja h : X R 2 R uma dada por z = h x , y = x 2 y - 1

  1. Explique porque h é diferenciável no ponto 10,10
  2. Calcule a diferencial total de h

Passo 1

  1. Para garantir a diferenciabilidade de h no ponto 10,10 , devemos verificar a existência das derivadas parciais de primeira ordem nas proximidades desse ponto e também a continuidade nesse ponto.
  2. Então, vamos calcular as derivadas parciais:

    h x = 2 x y - 1

    h y = x 2 2 y - 1

    Passo 2

    Então, verificamos que as derivadas parciais existem nas proximidades de 10,10 . Como elas existem no ponto dado, e são funções compostas de outras funções contínuas, as derivadas parciais são contínuas no ponto 10,10 .

    Logo, h é diferenciável em 10,10

    Passo 3

  3. A diferencial é dada por:

d z = h x d x + h y d y

Substituindo:

d z = 2 x y - 1 d x + x 2 2 y - 1 d y

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Resposta

b)     d z = 2 x y - 1 d x + x 2 2 y - 1 d y

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