Exercícios Resolvidos de Dilatação Térmica

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 207. x-y 17

Uma barra de aço tem 3,000   c m de diâmetro a 25,00 ° C . Um anel de latão tem um diâmetro interno de 2,992   c m a 25,00 ° C . Se os dois objetos são mantidos em equilíbrio térmico, a que temperatura barra se ajusta perfeitamente o furo? Sabendo que o coeficiente linear de dilatação do aço é 1,2.10 - 5 / ° C e o do latão é 1,8.10 - 5 / ° C .

Passo 1

Temos inicialmente a seguinte situação para os dois materiais:

Ambos estão a 25 ° C e o diâmetro da barra de aço é maior que o diâmetro interno do anel de latão:

D A = 3 c m

D L = 2,992 c m

O problema quer saber em qual temperatura é possível acontecer isso aqui:

Ou seja, pra qual temperatura a barra de aço se ajusta perfeitamente ao anel de latão, e isso pra nós quer dizer que seus diâmetros finais devem ser iguais.

D A f = D L f = D

Como eles são mantidos em equilíbrio térmico eles estão sempre a mesma temperatura.

∆ T A = ∆ T L = ∆ T

Como o problema quer que o tamanho final dos diâmetro sejam iguais, vamos igualar essas medidas para chegarmos no resultado que ele deseja.

Estamos avaliando a dilatação em duas dimensões, então vamos usar a equação da dilatação superficial aqui e encontrar uma relação pro diâmetro. E como estamos lidando com esse tipo de dilatação usaremos o coeficiente de dilatação superficial β .

A = A 0 1 + β ∆ T

Lembrando que:

β = 2 α

Como estamos analisando uma área circular temos o seguinte:

A = π D 2 4

Substituindo:

π D f 2 4 = π D 0 2 4 ( 1 + β ∆ T )

Cortando os semelhantes temos:

D f 2 = D 0 2 1 + β . Δ T

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como falamos, o problema quer a temperatura em que o diâmetro final dos objetos seja igual, então vamos igualar as equações da barra de aço e do anel de latão e encontrar primeiro a variação de temperatura.

b a r r a   d e   a ç o D f A 2 = D 0 2 A 1 + β A . Δ T

a n e l   d e   l a t ã o   D f L 2 = D 0 2 L 1 + β L . Δ T

Assim podemos igualar

D f L 2 = D f A 2

D 0 L 2 1 + β L . Δ T = D 0 A 2 1 + β A . Δ T

Onde :

β L = 2 α L = 2 × 1,8 × 10 - 5 = 3,6 × 10 - 5 / ° C

β A = 2 α A = 2 × 1,2 × 10 - 5 = 2,4 × 10 - 5 / ° C

E como:

D 0 L = 2,992 c m

D 0 A = 3 c m

Podemos então substituir os nossos dados na equação:

D 0 L 2 1 + β L . Δ T = D 0 A 2 1 + β A . Δ T

2,992 2 1 + 3 , 6 . 10 - 5 . Δ T = 3 2 1 + 2,4 . 10 - 5 . Δ T  

Atenção pra arrendondar só no final, hein!

Abrindo a expressão temos:

8,952064 + 32,2274304 × 10 - 5 Δ T = 9 + 21,6 × 10 - 5 Δ T

10,6274304 × 10 - 5 Δ T = 0,047936

Isolando o ∆ T

∆ T = 0,047936 10,6274304 × 10 - 5 = 451,06 ° C

Arredondando:

Δ T = 451 ° C

Caso você arredondasse antes poderia rolar uma diferença de +- 10 ° C , portanto no caso de dilatação temos que levar várias constantes conosco já que a ordem de grandeza é muito relevante.

Passo 3

Descobrimos para qual variação de temperatura vai ocorrer o fato da barra e o anel terem a mesma área, mas o problema que a temperatura final e não a variação e por isso vamos fazer:

Δ T = T f - T 0

T f = Δ T + T 0

T f = 451 + 25

T f = 476 ° C

Resposta

T f = 476 ° C

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