Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 16

Um ponto P se desloca, a partir do ponto 1 ,   - 5 , no plano x y . A trajetória de P é parametrizada pela curva

γ t = a e t + b e - t ,   c e t + d e - t ,             t ∈ [ 0 ,   + ∞ [ ,

onde a , b , c , d são constantes reais. Suponha que a direção e o sentido do vetor tangente à trajetória de P , no instante t = 0 sejam aqueles de maior crescimento da função f x ,   y = x y no ponto 1 ,   - 5 . Sabendo que γ ' 0 = 26 , em qual ponto P cruza o eixo O y ?

a) 0 , - 2 6 .

b) 0 , - 2 2 .

c) 0,2 6 .

d) 0 ,   2 2 .

e) 0 ,   0 .

Passo 1

Fala galera, vamos resolver mais uma questão de cálculo 2 da POLI!!!

A trajetória de um ponto P é parametrizada pela curva

γ t = a e t + b e - t ,   c e t + d e - t ,             t ∈ [ 0 ,   + ∞ [

O enunciado diz que a direção e o sentido do vetor tangente a essa curva em t = 0 são aquela de maior crescimento da função f x , y = x y no ponto 1 ,   - 5 . Assim, vamos determinar primeiro qual é essa direção!

Sabemos que a direção de maior crescimento de uma função é dada pelo vetor gradiente:

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Assim, como f x , y = x y :

∇ f x ,   y = ( y ,   x )

Portanto, a direção de maior crescimento de f é

∇ f 1 ,   - 5 = - 5 ,   1

Essa é a direção do vetor tangente a γ em t = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, devemos ter que γ 0 = ( 1 ,   - 5 ) e que γ ' 0 seja paralelo a - 5 ,   1 . A primeira condição nos leva a

γ 0 = a + b ,   c + d = ( 1 ,   - 5 ) ⇒ a + b = 1 c + d = - 5

Já para a segunda condição, temos que achar γ ' ( t ) :

γ ' t = a e t - b e - t ,   c e t - d e - t ⇒ γ ' 0 = a - b ,   c - d

Mas antes de qualquer coisa, lembre-se que γ ' 0 = 26 . Sabemos que

γ ' 0 = λ   - 5 ,   1 ⇒ γ ' 0 = λ   - 5 ,   1

Mas

- 5 ,   1 = 25 + 1 = 26

Portanto,

26 = λ   26 ⇒ λ = 1

Com isso,

γ ' 0 = - 5 ,   1 ⇒ a - b ,   c - d = - 5 ,   1 ⇒ a - b = - 5 c - d = 1

Temos que resolver dois sistemas:

a + b = 1 a - b = - 5               e               c + d = - 5 c - d = 1

Somando as equações:

2 a = - 4                       e                 2 c = - 4

Assim,

a = - 2 ⇒ b = 3                   e                 c = - 2 ⇒ d = - 3

Logo,

γ t = - 2 e t + 3 e - t ,   - 2 e t - 3 e - t

Passo 3

Queremos achar o ponto em que essa curva corta o eixo O y . Para isso, temos que zerar a coordenada x :

- 2 e t + 3 e - t = 0 ⇒ 2 e t = 3 e t ⇒ e 2 t = 3 2 ⇒ 2 t = ln ⁡ 3 2

Portanto,

t = 1 2 ln ⁡ 3 2 = ln ⁡ 3 2 1 / 2 = ln ⁡ 3 2

Substituindo isso na coordenada y :

y = - 2 e t - 3 e - t = - 2 e t - 3 e t = - 2 e ln ⁡ 3 2 - 3 e ln ⁡ 3 2 = - 2 3 2 - 3 3 2 = - 2 6 2 - 3 6 3 = - 2 6

Assim, a curva γ intercepta o eixo y no ponto

0 ,   - 2 6

Isso nos leva a alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

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