Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Calculo 4 – UFPE – 2° EE

Resolva o problema de valor inicial simbólico dado

y ' ' + y = δ t - 2 π ,     y ' 0 = 0 ,     y 0 = 0

Dicas: Para achar L - 1 , lembre que f t - a u t - a = L - 1 e - a s L f t s .

Passo 1

Bom, já começamos a questão nos perguntando que diabos é a função δ t - 2 π . Esta função delta é o delta de Dirac. Utilizamos ela quando estamos trabalhando com funções impulso.

Continuando, para resolvermos o problema, vamos ter de aplicar a transformada de Laplace na equação, isolar L y e obter a transformada inversa para encontrar uma solução para y t .

Então, antes de partirmos para este procedimento em si, vamos só relembrar como calculamos a transformada para estas funções δ . Seja então uma função δ t - c . Então, sua transformada é:

L δ t - c = e - c s

Como para o nosso delta c = 2 π , então, a transformada é e - 2 π s .

Bom, agora que já identificamos a transformada mais difícil, vamos fazer a transformada para toda a equação. Portanto,

L y ' ' + y = L δ t - 2 π

L y ' ' + L y = e - 2 π s

s 2 L y + s y ' 0 + y 0 + L y = e - 2 π s

s 2 L y + L y = e - 2 π s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, precisamos isolar o termo L y para poder fazer a transformada inversa. Portanto, vamos começar isolando este termo!

s 2 + 1 L y = e - 2 π s

L y = 1 s 2 + 1 e - 2 π s

Agora, vamos aplicar a transformada inversa em ambos os membros. Portanto,

y t = L - 1 1 s 2 + 1 e - 2 π s

Bom, qual seria a função que origina este termo todo do segundo membro? Só precisamos identificar isto para conseguirmos resolver a questão!!!!! Aaaah!

Espera, a questão deu uma dica, não foi? E ainda não utilizamos.... Vamos relembrar o que ela disse: Para achar L - 1 , lembre que f t - a u t - a = L - 1 e - a s L f t s .

Complicado ainda, vamos focar apenas no finalzinho dela: L - 1 e - a s L f t s . Se considerarmos a = 2 π , temos a primeira parte ok. E quem seria L f t s ? Vamos comparar com o termo restante dentro da nossa transformada inversa:

L f t s = 1 s 2 + 1

Calma, esta é a transformada de Laplace da função sen ⁡ t ! Caramba, então, na verdade, temos:

y t = L - 1 e - 2 π s L sen ⁡ t

E isto se encaixa direito na nossa dica! Se f t = sen ⁡ t e a = 2 π , então:

y t = sen ⁡ t - 2 π u t - 2 π

E esta é a solução do problema!

Dica: sempre valorizem as dicas dadas!!!

Resposta

y t = sen ⁡ t - 2 π u t - 2 π

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