Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

Determine a solução da equação diferencial linear de 2ª ordem não-homogêneacom coeficientes lineares, tomando y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 .

y ' ' + t y ' - 2 y = 1

Passo 1

Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse PVI, beleza? Para isso, aplicamos a transformada de Laplace em todo mundo.

L y ( t ) = Y

L y ' ' t = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 = s 2 Y

Agora vamos lembrar de uma regra para encontrarmos a transformada do termo do meio. Lembre que:

L t f = - d d s ( L f )

Assim, vamos utilizar esse conceito. Veja que a derivada é na transformada!

L t y ' = - d d s L y ' = - d d s s Y s - y 0 = - Y - s Y '

Pronto! Vamos agora substituir na equação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo na equação, temos:

L y ' ' t + L t f - 2 L y ( t ) = L [ 1 ]

s 2 Y - Y - s Y ' - 2 Y = 1 s

Reordenando:

- s Y ' + s 2 - 3 Y = 1 s

Então:

Y ' - s - 3 s Y = - 1 s 2

Vixi! Veja que caímos em outra EDO mas agora de primeira ordem. Então é melhor para resolver, né? Vamos utilizar o conceito de fator integrante para safar!

Passo 3

A nossa nova EDO é:

Y ' - s - 3 s Y = - 1 s 2

μ = e ∫ - s - 3 s = e 3 ln ⁡ s e - s 2 2 = s 3 e - s 2 2

Multiplicando a EDO pelo fator integrante:

μ Y ' = - s e - s 2 2

Integrando temos:

s 3 e - s 2 2 Y = - ∫ s e - s 2 2 d s = e - s 2 2 + c

Isolando o que nós queremos, que é o Y ( s ) temos:

Y s = e - s 2 2 + c s 3 e - s 2 2

Agora calma precisamos pensar um pouco. Veja que:

lim s → ∞ ⁡ Y s = 0

Assim, com essa condição, concluímos que c = 0 . Assim, chegamos a:

Y s = 1 s 3

Aplicando a transformada inversa:

y t = t 2 2

Resposta

y t = t 2 2

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