Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral III, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão Q21

Das alternativas a seguir identifique qual é a solução para o problema de valor inicial y ' ' + 16 y = 0 ,   y ( 0 ) = 0   e   y ' ( 0 ) = 1

  cos x

  sen 4 x

  s en x

    1 / 4   sen 4 x

  cos x 2  

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente resolva o problema de valor inicial para a equação:

y ' ' + 16 y = 0

Vamos começar obtendo a equação característica:

r 2 + 16 = 0 r 2 = - 16 r = ± 4 i

Nesse caso de raízes complexas conjugadas ( da forma α ± β i ) , ou seja, de < 0 , a solução geral é da forma:

y x = e α t ( c 1 cos β x + c 2 sen β x )

Então, a solução geral será:

y x = ( c 1 cos 4 x + c 2 sen 4 x )

Agora, podemos aplicar as condições iniciais y ( 0 ) = 0   e   y ' ( 0 ) = 1

y 0 = c 1 cos 4 . 0 + c 2 sen 4 . 0 = 0

Como cos 0 = 1 e sen 0 = 0 então teremos:

c 1 + 0 = 0 c 1 = 0

Para a segunda condição inicial, temos que derivar a solução geral;

y x = ( c 2 sen 4 x )

y ' x = c 2 . 4 cos 4 x

Aplicando a condição inicial, teremos:

y ' 0 = c 2 . 4 cos 4 . 0 = 1 4 c 2 = 1 c 2 = 1 4

Pronto, agora que já descobrimos os valores das constantes, sabemos a solução do nosso problema de valor inicial.

y x = 1 4 sen 4 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

y x = 1 4 sen 4 x

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