Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 14, Questão 10

Encontre todas as soluções da EDO:

3 y ' ' + 2 y ' + y = 0

Passo 1

Beleza, temos aqui uma EDO de segunda ordem, além disso, não há nenhuma função de x solta, então também é uma EDO homogênea.

Sabendo dessas coisas, vamos começar encontrando a equação característica:

3 y ' ' + 2 y ' + y = 0 3 r 2 + 2 r + 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Uma vez encontrada a equação característica, vamos resolvê-la. Para isso, usamos nosso velho amigo Bhaskara!

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 2 ± 4 - 4 3 1 2 3 = - 2 ± - 8 6

Opa, temos aqui uma raiz e número negativo, então teremos raízes complexas: r = - 2 ± i 2 2 6 = - 1 3 ± i 2 3

Ou seja, temos raízes na forma: r = α ± i β

Em que α representa a parte real e β a parte imaginária. OK, dessa forma teremos solução dada pela combinação de exponencial (parte real) com senos e cossenos (parte imaginária):

y x = e α x c 1 cos β x + c 2 sen β x

Comparando α e β com as raízes do nosso problema, temos:

α = - 1 3 β = 2 3

Portanto, nossa solução será: y x = e - 1 3 x c 1 cos 2 3 x + c 2 sen 2 3 x

Como nenhuma outra condição foi dada, deixamos a resposta final com as constantes gerais c 1 e c 2 .

Resposta

y x = e - 1 3 x c 1 cos 2 3 x + c 2 sen 2 3 x

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