Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

EDO linear de 1ª ordem

Resolva a equação no intervalo I = 0 , ∞ :

- 1 4 x y ' - 3 y = x

Passo 1

Essa é uma EDO linear de 1 ª ordem. Vamos arrumar para deixar y ' sozinho:

y ' + 12 x y = - 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo

y ' + 12 x y = - 4

Temos aqui uma equação na forma: y ' + A x y = B x

Sendo:

A x = 12 x , B x = - 4

Então, a nossa equação será uma equação linear que tem solução na forma:

y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Sendo I x nosso fator integrante dado por:

I x = e ∫ A x d x

Passo 3

Legal, então vamos começar por esse fator integrante aí:

∫ A x d x = ∫ 12 x d x = 12 ∫ 1 x d x = 12 ln ⁡ x = ln ⁡ x 12  

Logo o fator integrante fica

I x = e ∫ A x d x = e ln ⁡ x 12   = x 12

Como x > 0 temos:

I x = x 12

Passo 4

Vamos agora achar a integral:

∫ I x B x d x

Substituindo os valores, teremos: ∫ I x B x d x = ∫ x 12 ⋅ - 4 d x = - 4 ⋅ x 13 13

Assim sem a constante porque ela já aparece no resultado final. 😊

Passo 5

Logo, vamos ter:

y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

y x = 1 x 12 - 4 x 13 13 + C

y x = - 4 x 13 + C x - 12

Resposta

y x = - 4 x 13 + C x - 12

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