Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Resolva as equações:

b   y ' - 2 x y = x

Passo 1

Primeiramente, precisamos identificar o tipo dessa EDO de primeira ordem (aparece apenas a primeira derivada). Para isso, a gente tem que manipular essa coisa de um jeito que a forma dela seja familiar.

No nosso caso, ela já está de um jeito que me recorda uma EDO beeem clássica. Não se ligou? Que tal a EDO linear? A forma de uma EDO linear é seguinte:

y ' x + A x y x = B x

Agora dá uma olhada na nossa:

y ' - 2 x y = x

Cara, o formato é idêntico! Conclusão: é linear.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora chega de blá-blá-blá e bora resolver essa coisa.

Dá uma olhada na solução geral de uma EDO linear de primeira ordem.

y x = 1 I x ∫ I x . B x d x + C

Onde, I x = e ∫ A x d x

Beleza, temos que calcular todos os dados necessários: ∫ A x d x , I x   e   ∫ I x . B x

A x = - 2 x B x = x

∫ A x d x =   ∫ - 2 x d x = - x 2

I x = e ∫ A x d x ⇒   I x = e - x ²

Estamos quase lá! Continuando...

∫ I x . B x d x = ∫ e - x ² x d x

Xiiii, tá estranho né? Que tal fazer uma substituição naquele expoente do e ?

Assumindo u = - x 2 ⇒   d u = - 2 x d x . Substituindo...

∫ - e u 2 d u = - e u 2 = - e - x ² 2

Passo 3

Ufa! Agora basta descobrir y ( x )

y x = 1 e - x 2 - e - x 2 2 + C ⇒   y x = C e x 2 - 1 2

Resposta

y x = C e x 2 - 1 2

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