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15- Expresse a série de Fourier

f t = 10 + ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 + 1 cos ⁡ 10 n t + 1 n 3 s e n   10 n t

( a ) Em uma forma angular e de cosseno

( b ) Em uma forma angular e de seno

Passo 1

A forma angular será a mesma para as duas letras e para isso basta fazer:

A n = a n 2 + b n 2

A n = 4 n 2 + 1 2 + 1 n 3 2

Então:

A n = 16 n 2 + 1 2 + 1 n 6

E vamos deixar assim mesmo.

Passo 2

Sabendo que n ω t = 10 n t nós teremos então duas representações:

s e n ( n ω t + ϕ 1 )

c o s ( n ω t + ϕ 2 )

E que:

a n = A n cos ⁡ ϕ n

b n = - A n s e n ϕ n

Logo:

ϕ 2 = - t g - 1 b n a n = - t g - 1 1 n 3 4 n 2 + 1

Então a forma cosseno será:

f t = 10 + ∑ n = 1 ∞ 16 n 2 + 1 2 + 1 n 6   c o s ⁡ ( 10 n t - t g - 1 n 2 + 1 4 n 3    

Passo 3

Ea forma seno:

ϕ 1 = + t g - 1 a n b n

Pois é o ângulo oposto ao de ϕ 2 e sem o sinal inverso.

Então:

ϕ 1 = t g - 1 4 n 2 + 1 1 n 3 = t g - 1 4 n 3 n 2 + 1

Logo:

f t = 10 + ∑ n = 1 ∞ 16 n 2 + 1 2 + 1 n 6   s i n ⁡ ( 10 n t + t g - 1 4 n 3 n 2 + 1

Resposta

Forma cosseno:

f t = 10 + ∑ n = 1 ∞ 16 n 2 + 1 2 + 1 n 6   c o s ⁡ ( 10 n t - t g - 1 n 2 + 1 4 n 3    

Forma seno:

f t = 10 + ∑ n = 1 ∞ 16 n 2 + 1 2 + 1 n 6   s i n ⁡ ( 10 n t + t g - 1 4 n 3 n 2 + 1

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