Enunciado

No circuito da Figura 8.92 , determine v ( t ) e i ( t ) para t > 0 . Suponha que v 0 = 0   V e i 0 = 1   A .

Passo 1

Galerinha, vamos lá. A primeira coisa que podemos começar a fazer é analisar os valores de α e ω 0 e achar as raízes características:

α = 1 2 R C = 1 2 2 0,5 = 0,5

ω 0 = 1 L C = 1 1 0,5 = 2

Como temos que α < ω 0 , a resposta do circuito é subamortecida. Assim,

s 1,2 = - α ± ω 0 2 - α 2 = - 0,5 ± j 1,3229

Passo 2

Portanto, a equação da nossa corrente será da forma:

i t = I s + A cos ⁡ 1,3229 t + B sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t ,   o n d e   I s = 4

Para o instante inicial t = 0 , o enunciado já nos forneceu o valor da corrente! Assim, substituindo na expressão acima t = 0 , obtemos:

i 0 = 1 = 4 + A

A = - 3

A mesma análise inicial também foi feita para a tensão. Sabemos que, em t = 0 , v 0 = 0 . Como temos nossos três elementos do circuito em paralelo, todos eles estão sob a mesma tensão, ou seja

v R = v L = v C = v

Portanto, podemos escrever o seguinte:

v 0 = 0 = L d i 0 d t

Vamos calcular a derivada da corrente?

d i d t = 1,3229 - A sin ⁡ 1,3229 t + B cos ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t + - 0,5 A cos ⁡ 1,3229 t + B sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t

Quando t = 0 ,

d i 0 d t = 0 = 1,3229 B - 0,5 A

B = 0,5 - 3 1,3229

B = - 1,1339

Assim, nossa corrente tem a seguinte cara:

i t = 4 - 3 cos ⁡ 1,3229 t + 1,1339 sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t

Passo 3

Agora que já temos nossa corrente, só nos resta encontrar a tensão v ( t ) . Como dito no passo anterior, as tensões em cada um dos componentes são iguais, uma vez que todos estão em paralelo. Portanto, vamos usar o indutor para encontrar esse valor, uma vez que por ele, a conta depende da corrente (que já temos) e do valor da indutância!

v = v L = L d i d t

No passo 2, nós calculamos o valor da derivada da corrente. Nos resultou no seguinte:

d i d t = 1,3229 3 sin ⁡ 1,3229 t - 1,1339 cos ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t + - 0,5 - 3 cos ⁡ 1,3229 t - 1,1339 sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t

Se multiplicarmos essa expressão por L , teremos nossa tensão!

v t = L d i d t = 0,5 1,3229 3 sin ⁡ 1,3229 t - 1,1339 cos ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t + - 0,5 - 3 cos ⁡ 1,3229 t - 1,1339 sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t

v t = - 0 cos ⁡ 1,323 t + 4,536 sin ⁡ 1,323 t e - 0,5 t

v t = 4,536 sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t   V

Resposta

Os valores para a corrente e tensão são:

i t = 4 - 3 cos ⁡ 1,3229 t + 1,1339 sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t   A

v t = 4,536 sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t   V

Exercícios de Livros Relacionados

Para o circuito da Figura 8.65, determine:(a) v 0 +   e   i ( 0 + ) (b) d v ( 0 + ) / d t   e   d i ( 0 + ) / d t (c) v ∞       e   i ( ∞ )
Considere a Figura 8.63 e elabore um problema para ajudar outros estudantes a entenderem melhor como determinar os valores inicial e final.
Referindo-se ao circuito da Figura 8.66, determine:(a) i ( 0 + ) e v ( 0 + ) (b) d i ( 0 + ) / d t e d v ( 0 + ) / d t (c) i ( ∞ ) e v ( ∞ )
Usando a Figura 8.9 3 , elabore um problema para ajudar outros estudantes a entenderem melhor a resposta a um degrau de um circuito R L C em paralelo.
Obtenha v(t) e i(t) para t > 0 no circuito da Figura 8.84.
Considere a Figura 8.100 e elabore um problema para ajudar outros estudantes a entenderem melhor os circuitos de segunda ordem gerais.
Consulte o circuito da Figura 8.86 . Calcule i ( t ) para t > 0 .
A chave no circuito da Figura 8.88 é deslocada da posição a para a posição b em t = 0 . Determine i ( t ) para t > 0 .
A resposta a um degrau de um circuito R L C em paralelo é v = 10 + 20 e - 300 t cos ⁡ 400 t - 2 sen ⁡ 400 t   V ,   t ≥ 0 quando o indutor é de 50   m H . Determine R   e   C .
Se a chave na figura 8.103 se encontrar desligada há um longo tempo antes de t = 0 , porém é aberta em t = 0 , determine:A equação característica do circuito. i X e v R para t >...
Encontre a resposta v R ( t ) para t > 0 no circuito da figura 8.107 . Seja R = 3   Ω ,   L = 2   H e C = 1 18   F .
O interruptor da Figura 8.105 se encontrava na posição 1 para t < 0 . Em t = 0 , ela muda instantaneamente para o terminal superior do capacitor. Observe que o interruptor fecha...