Enunciado

Dado que F ω = F [ f t ] , pove que os seguitnes resultados usando a definição de transformada de Fourier:

  1. F f t - t 0 = e - j ω t 0 F ( ω )
  2. F d f t d t = j ω F ( ω )
  3. F f - t = F - ω
  4. F t f t = j d d ω F ( ω )

Passo 1

Vamos provar essa letra (a), pessoal! A transformada de Fourier de f ( t ) é definida por:

F ω = F f t = ∫ - ∞ ∞ f t e - j ω t d t

Para a função f ( t - t 0 ) podemos escrever:

F [ f ( t - t 0 ) ] = ∫ - ∞ ∞ f t - t 0 e - j ω t d t

Vamos resolver essa integral por substituição: x = t - t 0 → t = x + t 0 e d x = d t . Assim,

F f t - t 0 = ∫ - ∞ ∞ f x e - j ω x + t 0 d x

F f t - t 0 = e - j ω t 0 ∫ - ∞ ∞ f x e - j ω x d x

Assim,

F f t - t 0 = e - j ω t 0 F ω

Tá aí, coforme queríamos demonstrar! 😊

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