Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos - Capítulo 15.Problemas - Ex. 1

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desse livro

Determine a transformada de Laplace de:

  1. cosh ⁡ a t
  2. senh ⁡ a t

Sugestão:

cosh ⁡ x = 1 2 e x + e - x

senh ⁡ x = 1 2 e x - e - x

Passo 1

L e t r a   A )

Beleza, vamos usar a sugestão do problema, mas trocando o argumento x por a t :

cosh ⁡ a t = 1 2 e a t + e - a t

Agora, podemos aplicar a transformada de Laplace:

L cosh ⁡ a t = L 1 2 e a t + e - a t →

Como a transformada é linear, podemos separar dessa forma aqui:

L cosh ⁡ a t = 1 2 L e a t + L e - a t

Lembrando-se de que a transformada da exponencial é...

L e a t = 1 s - a  

L e - a t = 1 s + a  

Então concluímos que...

L cosh ⁡ a t = 1 2 L e a t + L e - a t   →

L cosh ⁡ a t = 1 2 1 s - a + 1 s + a

Juntando essas frações em uma só colocando usando o mesmo denominador comum (basta multiplicar e dividir pelo termo que falta):

L cosh ⁡ a t = 1 2 s + a s - a s + a + s - a s - a s + a   →

L cosh ⁡ a t = 1 2 s + a + s - a s - a s + a   →

L cosh ⁡ a t = 1 2 2 s s 2 - a 2   →

L cosh ⁡ a t = s s 2 - a 2

Passo 2

L e t r a   B :

Poxa, aqui vamos ter continhas bem semelhantes:

senh ⁡ a t = 1 2 e a t - e - a t   →

L senh ⁡ a t = 1 2 L e a t - L e - a t

A única diference é que agora tem um menos ali ao invés de mais! As continhas vai ser basicamente as mesmas:

L senh ⁡ a t = 1 2 1 s - a - 1 s + a   →

L senh ⁡ a t = 1 2 s + a s - a s + a - s - a s - a s + a   →

L senh ⁡ a t = 1 2 s + a s - a s + a - s - a s - a s + a   →

A única diferença vem agora:

L senh ⁡ a t = 1 2 s + a - s + a s - a s + a   →

L senh ⁡ a t = 1 2 2 a s 2 - a 2   →

L senh ⁡ a t = a s 2 - a 2

Por causa do menos quem sobra no nominador é o a (bem parecido com seno mesmo) !

Resposta

L senh ⁡ a t = a s 2 - a 2           e               L cosh ⁡ a t = s s 2 - a 2

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