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Determine a transformada de Laplace inversa de cada uma das seguintes funções:

s 2 + 1 s + 3 s 2 + 4 s + 5  

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

s 2 + 1 s + 3 s 2 + 4 s + 5  

No nosso caso, a primeira coisa a se fazer é aplicar separar em frações parciais (mas lembre-se de que quando temos um termo quadrático no denominador, em cima fica dele fica uma reta B s + D no caso):

A s + 3 + B s + C s 2 + 4 s + 5  

Passo 2

Então, colocando as duas frações em uma só, colocando o mesmo denominador...

A s + 3 + B s + C s 2 + 4 s + 5 =

A s 2 + 4 s + 5 + B s + C s + 3 s + 3 s 2 + 4 s + 5  

Igualando e cancelando o denominador...

s 2 + 1 s + 3 s 2 + 4 s + 5 = A s 2 + 4 s + 5 + B s + C s + 3 s + 3 s 2 + 4 s + 5 →

A s 2 + 4 s + 5 + B s + C s + 3 = s 2 + 1

Então...

A s 2 + 4 A s + 5 A + B s 2 + 3 B s + C s + 3 C = s 2 + 1 →

A + B s 2 + 4 A + 3 B + C s + 5 A + 3 C = s 2 + 1 →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios...

A + B = 1

4 A + 3 B + C = 0

5 A + 3 C = 1

Resolvendo esse sisteminha...

A = 1 - B       →       4 - 4 B + 3 B + C = 0             →           C = - 4 + B  

5 A + 3 C = 1         →           5 - 5 B - 12 + 3 B = 1   →               - 2 B - 7 = 1   →

B = - 4

Então...

A = 5       e         C = - 8

Ou seja, por frações parciais concluímos que...

5 s + 3 + - 4 s - 8 s 2 + 4 s + 5  

Passo 3

Poxa, mas essa fração com s 2 ainda está horrível, não está? Como s 2 + 4 s + 5 não tem raiz porque 4 2 é menor que 4 ⋅ 5 , podemos usar a ideia de completar quadrados então onde vamos transformar em:

s 2 + 4 s + 5 = s + a 2 + b 2   →

s 2 + 4 s + 5 = s 2 + 2 a s + a 2 + b 2   →

Então...

2 a = 4

E

a 2 + b 2 = 5

Onde tiramos que a = 2 e b = 1 . Então...

5 s + 3 + - 4 s - 8 s 2 + 4 s + 5   →

5 s + 3 + - 4 s - 8 s + a 2 + b 2 =

5 1 s + 3 - 4 s + 2 s + 2 2 + 1 2  

Passo 4

Agora precisamos buscar a inversa de todo mundo...

5 L - 1 1 s + 3 + 4 L - 1 s + 2 s + 2 2 + 1 2

E a Laplace inversa de uma função F s + c é...

L - 1 F s + c = e - c t L - 1 F s

Logo...

5 L - 1 1 s + 3 + 4 e - 2 t L - 1 s s 2 + 1 2

Essas Laplaces inversas são todas conhecidas:

5 e - 3 t + 4 e - 2 t cos ⁡ t  

Resposta

5 e - 3 t + 4 e - 2 t cos ⁡ t  

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