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Faça que x ( t ) e y ( t ) sejam conforme mostrado na figura a seguir. Determine z t = x t * y ( t ) .

Passo 1

Para convoluirmos x ( t ) com y ( t ) , vamos pegar o gráfico de x ( t ) (que vem primeiro na operação) e “deslizar” pelo gráfico de y ( t ) , fazendo a integral de convolução em cada intervalo.

Vamos lá, o primeiro intervalo é t < 0 , quando x ( t ) está completamente à esquerda de y ( t ) :

Nesse intervalo, não há sobreposição de x ( t ) com y ( t ) , então

z t = 0

Passo 2

Para o intervalo 0 < t < 2 :

Nesse caso, há sobreposição dos gráficos de 0 até t ' , sendo que x t = 2 e y t = 4 , assim:

z t = ∫ 0 t ' 2.4   d t '

z t = ∫ 0 t ' 8   d t '

z t = 8 t

Lembrando: estamos usando t ' como referência porque t já representa o nosso eixo das abscissas. Mas no resultado final podemos trocar t ' por t .

Passo 3

Para o intervalo 2 < t < 6 :

Agora, há sobreposição dos gráficos em 0 < t < 2 (com x t = 2 e y t = 4 ) e depois em 2 < t < t ' (com x t = 2 e y t = - 4 ).

Então vamos somar as integrais nesses dois intervalos:

z t = ∫ 0 2 2.4   d t ' + ∫ 0 t ' 2 . ( - 4 )   d t '

z t = 16 - 8 t

Passo 4

Para 6 < t < 8 :

Há sobreposição em:

t ' - 6 < t < 2 (com x t = 2 e y t = 4 )

2 < t < 6 (com x t = 2 e y t = - 4 )

6 < t < t ' (com x t = 2 e y t = 4 )

Então vamos somar 3 integrais:

z t = ∫ t ' - 6 2 2.4   d t ' + ∫ 2 6 2 . ( - 4 )   d t ' + ∫ 6 t ' 2.4   d t '

z t = 16 - 8 t - 48 - 48 - 16 + ( 8 t - 48 )

z t = - 8 t + 64 - 32 + 8 t - 48

z t = - 16

Passo 5

Para 8 < t < 12 :

Há sobreposição em:

t ' - 6 < t < 6 (com x t = 2 e y t = - 4 )

6 < t < 8 (com x t = 2 e y t = 4 )

Observe que para t > 8 , não há sobreposição.

Somando as duas integrais de convolução:

z t = ∫ t ' - 6 6 2 . ( - 4 )   d t ' + ∫ 6 8 2.4   d t '

z t = 8 t - 80

Passo 6

Para 12 < t < 14 :

Há sobreposição em t ' - 6 < t < 8 :

z t = ∫ t ' - 6 8 2 . 4   d t '

z t = 112 - 8 t

Para t > 14 o gráfico de x ( t ) sai completamente de qualquer sobreposição com y ( t ) , logo, no caso, z t = 0 .

É isso aí, calculamos a convolução para todos os intervalos possíveis :D

Resposta

z t = 8 t ,   0 < t < 2 16 - 8 t ,   2 < t < 6 - 16 ,   6 < t < 8 8 t - 80 ,   8 < t < 12 112 - 8 t ,   12 < t < 14 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

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