Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos - Capítulo 18.Problemas Abrangentes - Ex. 68

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O sinal de tensão da entrada de um filtro é v ( t ) = 50 e – 2 t   V . Qual é a porcentagem da energia total de 1   Ω que cai no intervalo de frequências 1 < ω < 5   r a d / s ?

Passo 1

Então galera, vamos lá! Em questões de aplicação, temos sempre que observar isso como se fosse uma questão teórica normal. Tiramos os pontos de cada característica do problema e vamos pra cima pros cálculos! A energia total é calculada por:

W T = ∫ - ∞ ∞ v 2 ( t ) d t

Passo 2

Como v ( t ) é uma função par,

W T = ∫ 0 ∞ 2500   e - 4 t d t = 5000 e - 4 t - 4 0 ∞ = 1250   J

V ω = 50 × 4 ( 4 + ω 2 )

Portanto,

W = 1 2 π ∫ 1 5 V ω d ω = 1 2 π ∫ 1 5 200 2 4 + ω 2 2 d ω

Passo 3

Continuando, temos que:

∫ 1 a 2 + x 2 2 d x = 1 2 a 2 x x 2 + a 2 + 1 a tan - 1 ⁡ x a + C

Aplicando pro nosso caso,

W = 2 × 10 4 π 1 8 ω 4 + ω 2 + 1 2 tan - 1 ⁡ ω 2 1 5 = 267.19

Para a porcentagem,

W W T = 267.19 1250 = 0.2137 = 21.37 %

Resposta

W W T = 21.37 %

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