Exercícios Resolvidos de Energia Cinética + Energia Gravitacional + Energia Elástica

PARTE I

Um bloco de massa m = 12,0   k g desliza por uma rampa sem atrito com inclinação θ = 30,0 ° e comprimento total de L = 40,5   c m iniciando o movimento a partir do repouso. Ao longo da rampa existe uma mola de constante elástica k = 13500   N / m que se encontra a uma distância D = 0,350   m abaixo do bloco. O bloco atinge o repouso ao comprimir a mola de uma distância x = 5,50   c m . Considere g = 10   m / s 2 .

(a ) Escreva a equação literal para a conservação da energia mecânica para as posições inicial e final do movimento em função dos dados do problema.

(b ) Determine a compressão da mola quando a aceleração do sistema for zero.

(c ) Obtenha o módulo da velocidade máxima que o bloco alcança durante a descida.

PARTE II:

Em um salto de pára-quedas o atleta abandona o avião com velocidade vertical v y i = 0 . Considerando a resistência do ar, sua velocidade horizontal inicial se torna nula imediatamente ao abandonar a aeronave e pode ser desprezada nos cálculos, deste modo podemos considerar uma trajetória de queda estritamente vertical. O saltador chega ao chão com velocidade v y f → =   - 5,0   m / s   j ^ .

Calcule a energia total dissipada pela resistência do ar no conjunto saltador + pára-quedas. Dados: g = 1000   c m / s 2 ; massa total do saltador + pára-quedas igual à M T = 90   k g ; altura inicial do avião h i = 2,1   k m . Use o referencial indicado com y = 0 no solo.

Passo 1

Parte I

Escrevendo a equação literal para a conservação da energia mecânica

Como não há forças dissipativas atuando, podemos conservar a energia durante o movimento.

Chamaremos o alto do plano (início do movimento) de ponto A e chamaremos o ponto em que o bloco para (ponto de compressão máxima da mola) de ponto C. Consideraremos o ponto C como o referencial zero pra este cálculo.

Logo,

E M A = E M C

No ponto A teremos apenas a energia potencial gravitacional e no ponto C apenas a energia potencial elástica. Assim:

m g H = 1 2 k x 2

Pela trigonometria do problema, temos:

s e n θ = H D + x ⇒ H = D + x s e n θ

Assim, a conservação da energia com base nos dados do problema, será:

m g D + x s e n θ = 1 2 k x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Determinaremos a compressão da mola quando a aceleração do sistema for zero.

Neste ponto, o equilíbrio no eixo do plano inclinado é dado por:

F e l - m g s e n θ = 0 ⟹ k ∆ x = m g s e n θ   ⇒ ∆ x = m g s e n θ k

Substituindo os valores dados, teremos:

∆ x = 12   .   10   .   s e n 30 ° 13500 = 12   .   10   .   0,5 13500 = 4,44   x   10 - 3   m

Passo 3

Encontrando o módulo da velocidade máximo do bloco na descida.

A velocidade máxima acontece no ponto de aceleração nula (calculado no passo anterior). Assim, utilizando o teorema Trabalho e Energia Cinética, teremos:

W P + W e l = ∆ K

m g D + x s e n θ - 1 2 k x 2 = 1 2 m v f 2

v f 2 = 2 m g D + x s e n θ - k x 2 m    

v f 2 = 2.12.10 . 0,35 + 0,00444 . s e n 30 ° - 13500 . 0,00444 2 12 = 3,522  

v f =   3,522 = 1,88   m / s  

Passo 4

Parte II

Calcularemos a energia dissipada pela resistência do ar.

Pelo Teorema Trabalho e Energia Cinética, temos:

∑ W = ∆ K

Na situação estudada, teremos o trabalho da força peso e o trabalho da resistência do ar atuando.

W P e s o + W R e s   A r = K f - K i

Como o saltador parte do repouso, K i = 0 , assim:

m g h + W R e s   A r = K f - 0   ⟹ 90   .   10   .   2100 + W R e s   A r = 90   .   5 2 2  

W R e s   A r =   - 1888875 J

Logo, a energia dissipada será:

E d i s s i p a d a = 1888875   ⟹ E d i s s i p a d a = 1,9   x   10 6   J = 1,9   M J

Resposta

P a r t e   I

a )   m g D + x s e n θ = 1 2 k x 2

b )   ∆ x =   4,44   x   10 - 3   m

c )   v f = 1,88   m / s  

P a r t e   I I

E d i s s i p a d a = 1,9   x   10 6   J = 1,9   M J

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