Exercícios Resolvidos de Energia Potencial

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 308, 7/35

A energia potencial de um sistema mecânico é dada por V = 6 x 3 - 9 x 2 + 7 , onde x é a coordenada de posição associada ao único grau de liberdade. Determine a posição, ou as posições, de equilíbrio e a condição de estabilidade do sistema de cada posição de equilíbrio.

Passo 1

Nosso primeiro passo é derivar com relação à x a expressão da energia mecânica:

Depois vamos igualar a zero:

d V d x = d ( 6 x 3 - 9 x 2 + 7 ) d x = 18 x 2 - 18 x

Repare que a nossa equação é do segundo grau, então teremos duas posições de equilíbrio!!!

Para determinar essas posições de equilíbrio devemos igualar a equação que achamos à zero:

d V d x = 0

18 x 2 - 18 x = 0

Podemos escrever a nossa equação dessa forma aqui:

18 x x - 1 = 0

x x - 1 = 0

Então, os valores de x que tornam a nossa equação igual a zero são:

x = 0  

  x = 1

E essas são as posições de equilíbrio que estávamos procurando!!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos ver se essas condições são de equilíbrio estável ou instável. Para isso temos que derivar mais uma vez a nossa expressão de energia:

d 2 V d x 2 = 36 x - 18

Agora temos que substituir os valores de x que achamos para a posição de equilíbrio nesta equação aí de cima:

d 2 V 1 d x 2 = 36 1 - 18 = 18

Como nosso resultado é maior que zero, então estamos na condição do equilíbrio estável:

d 2 V 1 d x 2 = 18 > 0         →         c o n d i ç ã o   e s t á v e l

E para x = 0 , temos que:

d 2 V 0 d x 2 = 36 0 - 18 = - 18

Como obtemos um resultado menor que zero, então estamos na condição do equilíbrio instável:

d 2 V 0 d x 2 = - 18 < 0           →         c o n d i ç ã o   i n s t á v e l

Assim: quando x = 1 será uma condição estável e quando x = 0 teremos uma condição instável.

Resposta

x = 1       →     c o n d i ç ã o   e s t á v e l

x = 0       →     c o n d i ç ã o   i n s t á v e l

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