Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

Elaboração Própria

Encontre a equação do segmento de reta que passa pelo ponto P 0 = ( 1 ,   0 ,   2 ) , tem direção do vetor v → = ( 1 ,   0 ,   2 ) entre os pontos ( 2 ,   0 ,   4 ) e ( 4 ,   0 ,   8 ) .

Passo 1

Vamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto P 0 = 1,0 , 2 e é paralela ao vetor v → = 1,0 , 2 . Temos:

r t = P 0 + v → t

r t = ( 1 ,   0 ,   2 ) + ( 1 ,   0 ,   2 ) t

r t = ( 1 + 1 t ,   0 + 0 t ,   2 + 2 t )

r t = ( 1 + t ,   0 ,   2 + 2 t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos descobrir os valores de t 1 e t 2 correspondentes aos pontos dados que determinam o segmento de reta:

Vamos encontrar t 1 :

P i = r t 1 = ( 2 ,   0 ,   4 )

1 + t 1 ,   0 ,   2 + 2 t 1 = ( 2 ,   0 ,   4 )

Temos, então, o seguinte sistema:

1 + t 1 = 2 0 = 0 2 + 2 t 1 = 4

Podemos escolher a primeira equação, ou a terceira equação para encontrar o valor de t 1 . Tanto faz. Escolhendo a primeira equação temos:

1 + t 1 = 2

⇒ t 1 = 1

Agora, falta encontrar t 2 :

P f = r t 2 = ( 4 ,   0 ,   8 )

1 + t 2 ,   0 ,   2 + 2 t 2 = ( 4,0 , 8 )

Temos as seguintes equações:

1 + t 2 = 4 0 = 0 2 + 2 t 2 = 8

Escolhendo a primeira equação temos:

1 + t 2 = 4

⇒ t 2 = 3

Logo:

t ∈ [ 1,3 ]

Resposta

A equação paramétrica do segmento de reta é:

r t = ( 1 + t ,   0 ,   2 + 2 t )

t ∈ [ 1 ,   3 ]

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