Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

UFPE, Cálculo 4, 2º EE - 2017.1, Questão 4

Determine a solução da equação diferencial linear de 2ª Ordem não-homogênea com coeficientes lineares, tomando y 0 = 0 , y ' 0 = 0

2 d 2 y d t 2 + 2 t d y d t - 4 y = 2

Passo 1

Opa, temos um PVI. Aqui, vamos usar a nossa queridíssima transformada de Laplace para resolver esse PVI, beleza?

Para isso, precisamos aplicar transformada de Laplace em toda a nossa EDO. Antes de qualquer coisa, vamos dividir a equação toda por 2 . Como assim né? Repara que tem múltiplo de 2 em todo mundo, então podemos fazer isso para simplificar a nossa continha

2 d 2 y d t 2 + 2 t d y d t - 4 y = 2

d 2 y d t 2 + t d y d t - 2 y = 1

Isso vai facilitar de leve nossas contas 😉

Vamos separar aqui por partes, fazendo a transformada de cada parte do lado esquerdo da equação.

Começando com:

d 2 y d t 2

Olhando a nossa tabela na prova:

L d 2 y d t 2 = s 2 L y - s y 0 - y ' 0

Substituindo os valores iniciais

L d 2 y d t 2 = s 2 L y

Agora

t d y d t

L t d y d t = - d d s L y '

Mas

L y ' = s L y - y 0

Substituindo o valor inicial, temos

L y ' = s L y

Agora só temos que derivar isso em relação a s

L t d y d t = - d d s s L y = - L y - s d d s L y

Juntando isso tudo, o lado direito da nossa equação vai ficar

s 2 L y - L y - s d d s L y - 2 L y

Para deixar as coisas mais fáceis e bonitinhas, vamos chamar a transformada de y t de Y s , então temos

s 2 Y - Y - s Y ' - 2 Y

Juntando o - Y com - 2 Y

s 2 Y - s Y ' - 3 Y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando agora a transformada no lado direito, temos

L 1 = 1 s

E a nossa EDO vai ficar

s 2 Y - 3 Y - s Y ' = 1 s

Olha que lega, a transformada deu uma EDO também

Fique tranquilo, vamos fazer juntos aqui a nossa EDO. Ela é uma EDO de 1ª ordem linear, conseguirmos fazer isso juntos. Vamos lá

Passo 3

Vamos resolver a EDO agora

s 2 Y - 3 Y - s Y ' = 1 s

Primeiro temos que dividir tudo por - s para deixar o Y ' sozinho

Y ' - s Y + 3 s Y = 1 s 2

Arrumando isso, vamos ter

Y ' + 3 s - s Y = - 1 s 2

Vamos começar identificando A s e B s . O A s é quem multiplica o Y e o B s é a função do lado direito.

A s = 3 s - s

B s = - 1 s 2

Passo 4

Agora, vamos achar a integral de A s

∫ A s d s = ∫ 3 s - s d s = 3 ln ⁡ s - s 2 2

Passo 5

Agora vamos ao Fator integrante

I s = e ∫ A s d s = e 3 ln ⁡ s - s 2 2

Podemos arrumar esse termo

e 3 ln ⁡ s - s 2 2 = e 3 ln ⁡ s e - s 2 2

Lembrando das propriedades de Log, vamos ter

e 3 ln ⁡ s = e ln ⁡ s 3 = s 3

Assim:

I s = s 3 e - s 2 2

Passo 6

Agora, temos que cálculo a integral

∫ I s . B s d s = ∫ s 3 e - s 2 2 - 1 s 2 d s = ∫ - s   e - s 2 2 d s

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição

u = - s 2 2 → d u = - s d s

Assim, nossa integral fica

∫ e u d u = e u

Voltando para s

e u = e - s 2 2

Passo 7

A nossa solução de Y s vai ser

Y s = 1 I s ∫ I s . B s d s + C

Substituindo os valores que achamos

Y s = 1 s 3 e - s 2 2 e - s 2 2 + C

Y s = 1 s 3 + C s 3 e - s 2 2

Opa, tem um C ali, precisamos achar esse C . Mas não tem nenhuuuuma informação a mais na questão. O que vamos fazer?

Repara que estamos achando a transformada de Laplace de Y s . A transformada de qualquer função precisa ir para 0 quando s → ∞ , ou seja

lim s → ∞ ⁡ Y s = 0

Se fizermos esse limite, vamos ter

lim s → ∞ ⁡ 1 s 3 + C s 3 e - s 2 2 = 1 ∞ + C ∞ . 0 = C ∞ . 0

Temos uma indeterminação ali no meio. Para evitar que ela apareça, vamos precisar ter C = 0 . Porque assim some aquele problema já que isso anula toda a segunda parcela da soma.

Assim:

Y s = 1 s 3

Passo 8

Ufa, estamos terminando.

Olhando a nossa tabela, vemos que

L t n = n ! s n + 1

Comparando com o nosso Y s , temos

n + 1 = 3 → n = 2

L t 2 = 2 ! s 3

Como temos só o 1 / s 3 , vamos encontrar

L t 2 2 ! = 1 s 3

Que na verdade é

L t 2 2 ! = 1 s 3

Assim

y t = t 2 2

Resposta

y t = t 2 2

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