Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

UNICAMP, Cálculo 3, P3 - 2013.1, Questão 2a

( a ) Resolva a equação de Euler

x 2 y ' ' + x y ' - y = 0

Passo 1

( a ) Legal, temos uma Equação de Euler para resolver. No intervalo x > 0 , se fizermos y = x r , teremos:

x 2 y ' ' + x y ' - y = 0

x 2 ( r r - 1 x r - 2 ) + x ( r x r - 1 ) - ( x r ) = 0

r r - 1 x r + r x r - x r = 0

r 2 - r + r - 1 x r = 0

r 2 - 1 x r = 0

Como x r 0 , teremos:

r 2 - 1 = 0

r = ± 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

As soluções, então, são dadas por

y 1 = x r 1 = x - 1

y 2 = x r 2 = x 1 = x

Assim, a solução geral é da forma

y = c 1 y 1 + x 2 y 2

y = c 1 x + c 2 x

Resposta

( a ) y = c 1 x + c 2 x

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