Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 14, Questão 20

Resolva PVI.

x 2 y ' ' + x y ' + y = 0

y 1 = 1

y ' 1 = 2

Passo 1

Temos aqui um x 2 multiplicando a segunda derivada e x multiplicando a primeira, então temos uma equação na forma da equação de Euler. Então vamos supor solução y = x p . Derivando, temos:

y ' = p x p - 1

y ' ' = p p - 1 x p - 2

Substituindo, temos: x 2 p p - 1 x p - 2 + x p x p - 1 + x p = 0

p p - 1 x p + p x p + x p = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora podemos deixar x p em evidência:

x p p p - 1 + p + 1 = 0

x p p 2 + 1 = 0

Como queremos que a solução não seja trivial, precisamos que:

p 2 + 1 = 0

Ou seja,

p = ± i

E teremos o caso em que p é complexo ( Δ < 0 ). De forma geral, para p = α ± β i , a solução será: y x = x α c 1 cos β ln x + c 2 sen β ln x

Assim mesmo, com aquele log aparecendo. Comparando com o nosso caso, temos α = 0 e β = 1 , então: y x = x 0 c 1 cos ln x + c 2 sen ln x

y x = c 1 cos ln x + c 2 sen ln x

Passo 3

Acabou? Não! Como temos um PVI, usamos as outras condições para encontrar as constantes. Sabemos que:

y 1 = 1

Assim, temos: y 1 = 1 = c 1 cos ln 1 + c 2 sen ln 1

1 = c 1 cos 0 + c 2 sen 0

c 1 = 1

Para a aplicar y ' 1 = 2

derivamos usando a regra da cadeia:

y ' x = - c 1 1 x sen ln x + c 2 1 x cos ln x

Logo, vamos ter:

y ' 1 = 2 = - c 1 1 1 sen 0 + c 2 1 1 cos 0

c 2 = 2

Show, então a solução final vai ser:

y x = cos ln x + 2 sen ln x

Resposta

E é isso 😊

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas