Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Não Homogênea

UFRJ, Cálculo 4, P2 2014.1, Questão 3

Considere o problema de valor inicial e de contorno, definido por

u t x , t - 2 u x x x , t = 0 u 0 , t = 1 / 2 u ( 1 / 2 ,   t ) = 3 / 4 u x , 0 = x 2 + 1 / 2

Que representa a distribuição de temperatura numa barra de seção uniforme, de material homogêneo e de comprimento 1 / 2 .

a) Determinar a distribuição de temperatura da barra, denotada por v ( x ) para todo x 0 , 1 2 , após alcançado o estado de equilíbrio térmico (estado estacionário).

b) Definindo w x , t = u x , t - v ( x ) , determinar o problema de valor inicial e de fronteira que a função w ( x , t ) deverá satisfazer. Não é necessário resolver o problema obtido, porém deve se justificar todos os argumentos que conduzem a ele.

Passo 1

Letra a)

Como temos condições de Dirichlet não homogêneas (um lado da barra tem temperatura fixada em 1 / 2 e o outro em 3 / 4 ), precisamos primeiro procurar uma solução estacionária v ( x ) , que não depende do tempo. Como essa solução deve satisfazer a equação de calor, temos:

2 v x = v t               v ' ' x = 0

Como v ( x ) não possui a variável t , sua derivada em relação a t é zero (a temperatura não varia no tempo). Isso nos dá:

v x = a x + b

É só integrar 2 vezes!

Beleza, além disso, a solução v ( x ) também tem que atender às condições de contorno, né? Temos:

v ( 0 ) = 1 / 2

v ( 1 / 2 ) = 3 / 4

Bom, agora vamos substituir isso aí na fórmula geral de v ( x ) que encontramos!

v 0 = 1 / 2 = b

v 1 2 = 3 4 = a 2 + 1 2                 a = 1 2

v x = x 2 + 1 2

Pronto, essa é a expressão de v ( x ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Mas o que nós queremos é u ( x , t ) , não v ( x ) . Certo, vamos dizer o seguinte:

u x , t = v x + w ( x , t )

Agora, nós vamos entender a solução u ( x , t ) como uma perturbação da solução estacionária, fazendo que u ( x , t ) é a soma de v ( x ) com uma função de x e t , w ( x , t ) . Vamos substituir essa definição de u ( x , t ) nas condições do problema:

2 u x x = u t                 2 [ v ' ' x 0 + w x x ] = 0 + w t                 2 w x x = w t

u 0 , t = 1 / 2                 v 0 1 / 2 + w 0 , t = 1 / 2                     w 0 , t = 0

u 3 / 4 , t = 3 / 4                 v 1 / 2 3 / 4 + w 1 / 2 , t = 3 / 4                     w 1 / 2 , t = 0

Percebeu que nós encontramos um problema homogêneo em w ( x , t ) ? Basta resolvê-lo para encontrar u ( x , t ) então.

Aplicando a última condição que o problema deu, temos:

u x , 0 = x 2 + 1 / 2

v x + w ( x , 0 ) = x 2 + 1 / 2

w x , 0 = x 2 + 1 2 - v ( x )

Se você reparar, nós temos

2 w x x = w t w 0 , t = 0 w 1 / 2 , t = 0 w x , 0 = x 2 - x 2

Esse é o problema que w ( x , t ) deve satisfazer. Encontrando a função w ( x , t ) , fazendo u x , t = w x , t + v ( x ) , nós temos a solução do problema.

Nesse caso, a questão pede apenas que apresentemos o problema, sem resolvê-lo.

Resposta

  1. v x = x 2 + 1 2

2 w x x = w t w 0 , t = 0 w 1 / 2 , t = 0 w x , 0 = x 2 - x 2

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