Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Não Homogênea

Determine uma solução de estado estacionário y x do problema de contorno

k 2 u x 2 = u t ,     0 < x < π ,     t > 0

u 0 , t = u 0 ,     - u x π , t = u π , t - u 1 ,     t > 0  

u x , 0 = 0 ,     0 < x < π

Passo 1

Essa é a equação do calor e ele tá pedindo a solução de estado estacionário pra isso vamos ter que definir a nossa função u da seguinte forma.

u x , t = v x , t + y ( x )

O que estamos fazendo? A gente tá propondo que para um tempo muito grande, a solução só vai depender da posição na barra. Como queremos que y seja solução da equação, ela deve satisfazer essa equação, ou seja:

k 2 y x 2 = y t

Mas como y é uma função só de x .

y t = 0     d 2 y d x 2 = y ' ' ( x )

Então temos que resolver a seguinte equação.

k y ' ' = 0 y ' ' = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolvermos essa EDO é moleza. Integrando dos dois lados uma vez teremos.

y ' ' d x = 0 d x

y ' = a

Onde a é uma constante. Integrando novamente.

y ' d x = a d x

y x = a x + b

Onde b é uma constante.

Passo 3

Vamos agora utilizar as informações iniciais para calcular os valores de a e b .

Além de satisfazer a equação, essa solução deve satisfazer as condições de contorno também. Então, primeiro vamos usar o fato que u 0 , t = u 0 .

u 0 , t = y 0 = u 0

y 0 = a × 0 + b = u 0

b = u 0

Passo 4

Vamos agora usar a informação que

- u x π , t = u π , t - u 1

Substituindo y

- y ' π = y π - u 1

Como y ' x = a

- a = a π + u 0 - u 1

a = u 1 - u 0 1 + π

Sendo assim a nossa solução fica

y x = u 1 - u 0 1 + π x + u 0

Resposta

y x = u 1 - u 0 1 + π x + u 0

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