Exercícios Resolvidos de Equação do Plano

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON education do Brasil, 2009, pp. 207 - 26

Encontre a equação do plano que passa por A = ( 1 , - 2,1 ) e é perpendicular ao vetor da origem até A , e esboce seu gráfico.

Passo 1

Para encontrar a equação do plano, precisamos de dois elementos:

  • Um ponto P 0 pertencente ao plano.
  • E um vetor normal ao plano n

O problema já fornece diretamente um ponto pertencente ao plano P 0 = A = ( 1 , - 2,1 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, temos de encontrar o vetor normal ao plano. Porém, podemos achá-lo calculando o vetor O A , que é o vetor que vai da origem até A .

Calculando O A :

n = O A = 1 , - 2,1 - 0,0 , 0 = 1 , - 2,1

Passo 3

Agora basta encontrar a equação do plano:

n = a , b , c = 1 , - 2,1

P 0 = x 0 , y 0 , z 0 = ( 1 , - 2,1 )

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

1 x - 1 - 2 y - - 2 + 1 z - 1 = 0

x - 1 - 2 y - 4 + z - 1 = 0

x - 2 y + z = 6

Passo 4

Vamos fazer os traços do plano.

  • Traço no plano x y ( z = 0 ) :
  • y = x - 6 2

    O eixo x   é interceptado no ponto ( 6,0 , 0 ) e o eixo y também tem um ponto de

    interseção em ( 0 , - 3,0 )

  • Traço no plano y z ( x = 0 ) :
  • z = 6 + 2 y

    O eixo z   é interceptado no ponto ( 0 , 0,6 ) e o eixo y também tem um ponto de interseção em ( 0 , - 3,0 )

  • Traço no plano z x ( y = 0 ) :

z = 6 - x

O eixo x   é interceptado no ponto ( 6 , 0,0 ) e o eixo z também tem um ponto de interseção em ( 0,0 , 6 )

Passo 5

Marcando os pontos , fazendo o paralelogramo, hachurando sua área, o gráfico fica:

Resposta

A equação do plano é:

x - 2 y + z = 6

E o seu esboço:

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