Exercícios Resolvidos de Equação do Plano

UFRJ - Cálculo 2 - PF 2013.2 - ME1

A equação do plano que contém as 2 retas parametrizadas por

r 1 t = 1 + t ,   t ,   - 1 + t ,         r 2 t = 1 - t ,   2 t ,   - 1 + t ,

com t R , é:

(a) x + y + z = 0

(b) - x - 2 y + 3 z = - 4

(c) - x + 2 y + z = 0

(d) - x - 2 y + 3 z = 0

(e) Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

A equação de um plano que passa pelo ponto P 0 e tem vetor normal n é dada por: n = a , b , c

P 0 = x 0 , y 0 , z 0

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Então precisamos de um ponto onde o plano passa e de um vetor normal do plano!

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Passo 2

Eles nos deu parametrizações de duas retas.

A parametrização de uma reta é da forma

r t = P 1 + v t

onde P 1 é um ponto da reta e v um vetor na direção da reta.

Repare que

r 1 t = 1,0 , - 1 + 1,1 , 1 t     e     r 2 t = 1,0 , - 1 + - 1,2 , 1 t

Ou seja, as 2 retas se cruzam no ponto ( 1,0 , - 1 ) e depois uma parte na direção do vetor v 1 = ( 1,1 , 1 ) e a outra na direção do vetor v 2 = ( - 1,2 , 1 ) .

Então já achamos um ponto do plano: o ponto P 0 = ( 1,0 , - 1 )

Na real, elas serem concorrentes foi uma grande coincidência! Caso elas não tivessem um ponto em comum, bastaria pegar qualquer ponto de uma das retas para ser o nosso P 0 . Afinal elas estão contidas no plano, ou seja, todos os pontos da reta, são pontos do plano!

Passo 3

Além do mais, isso que descobrimos é ótimo pra achar o vetor normal do plano!

Esse vetor n é normal ao plano, então ele é normal às duas retas. Ou seja, ele é ortogonal aos vetores diretores dessas retas v 1 = ( 1,1 , 1 ) e v 2 = ( - 1,2 , 1 ) .

Fazendo o produto vetorial entre esses dois vetores, vamos encontrar n , o vetor normal a esses dois vetores e consequentemente normal ao plano. Então temos:

n = v 1 x v 2 = i ^ j ^ k ^ 1 1 1 - 1 2 1 = 1 x 1 - 2 x 1 i ^ - 1 x 1 - - 1 x 1 j ^ + 1 x 2 - - 1 x 1 k ^ = - i ^ - 2 j ^ + 3 k ^

n = - 1 , - 2,3

Passo 4

Show! Vamos aplicar a equação do plano:

n = a , b , c = - 1 , - 2,3

P 0 = x 0 , y 0 , z 0 = ( 1,0 , - 1 )

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 1 x - 1 - 2 y - 0 + 3 z - - 1 = 0

- x - 2 y + 3 z = - 4

Resposta

Alternativa (b)

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