Exercícios Resolvidos de Equações Adimensionalizadas

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 343, ex. P 5.44

A equação diferencial da energia para escoamento bidimensional incompressível através de um meio poroso do “tipo Darcy” é aproximadamente

ρ c p σ μ ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x + ρ c p σ μ ∂ p ∂ y ∂ T ∂ y + k ∂ 2 T ∂ y 2 = 0

em que σ é a permeabilidade do meio poroso. Todos os outros símbolos têm seus significados usuais. ( a ) Quais são as dimensões apropriadas para σ ? ( b ) Adimensionalize essa equação, usando ( L ,   U ,   ρ , T 0 ) como constantes de escala, e discuta quaisquer parâmetros adimensionais que aparecerem.

Passo 1

Nossa primeira missão é encontrar a dimensão de σ , a permeabilidade. Partiu analisar a equação com esse objetivo

ρ c p σ μ ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x + ρ c p σ μ ∂ p ∂ y ∂ T ∂ y + k ∂ 2 T ∂ y 2 = 0

Como é uma equação com 3 parcelas igualando a zero, as dimensões de cada parcela devem ser as mesmas para soma fazer sentido. Essa é a sacada.

Vamos comparar as dimensões então da primeira a parcela com a terceira. (Obs: Poderíamos comparar também a segunda parcela com a terceira, daria no mesmo)

Mas antes, vamos identificar as variáveis e suas dimensões

ρ , c p , σ ,   μ ,   p ,   x ,   y ,   T ,   k

São 9 variáveis e suas dimensões são:

ρ = M L - 3

c p = E n e r g i a M a s s a .   T e m p e r a t u r a = M L T - 2 L M Θ = L 2 T - 2 Θ - 1

σ = q u e r e m o s   d e s c o b r i r !

  μ =   M L - 1 T - 1

p =   F o r ç a Á r e a = M L T - 2 L 2 = M L - 1 T - 2

x = L

y = L

T =   Θ

k = P o t ê n c i a c o m p r i m e n t o . T e m p e r a t u r a =   M L T - 2 L T - 1 L Θ = M L T - 3 Θ - 1

Substituindo as dimensões na primeira parcela

ρ c p σ μ ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x = M L - 3 L 2 T - 2 Θ - 1 σ M L - 1 T - 1 M L - 1 T - 2 L Θ L

Simplificando

ρ c p σ μ ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x = M L - 3 T - 3 σ

Substituindo as dimensões na terceira parcela

k ∂ 2 T ∂ y 2 = M L T - 3 Θ - 1 Θ L 2 = M L - 1 T - 3

Para comparar as dimensões, vamos igualar as dimensões de cada parcela

M L - 3 T - 3 σ = M L - 1 T - 3

σ = L 2

A dimensão da permeabilidade σ é comprimento ao quadrado. Boa! Próxima letra.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é hora de adimensionalizar a equação. Lembra que já temos algumas referências: L ,   U ,   ρ , T 0

ρ c p σ μ ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x + ρ c p σ μ ∂ p ∂ y ∂ T ∂ y + k ∂ 2 T ∂ y 2 = 0

Com as referências, já podemos dizer que:

x * = x L   ⇒ x = L x *

y * = y L ⇒ y = L y *

T * =   T T 0 ⇒ T = T 0 T *

Além disso, para adimensionalizar a pressão p =   M L - 1 T - 2 , precisamos usar U e ρ

p * = p ρ U 2 =   M L - 1 T - 2 M L - 3 L T - 1 2 =   M L - 1 T - 2 M L - 1 T - 2 = { 1 }

Logo

p * = p ρ U 2 ⇒ p = ρ U 2 p *

Então vamos substituir essas expressões na equação original

ρ c p σ μ ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x + ρ c p σ μ ∂ p ∂ y ∂ T ∂ y + k ∂ 2 T ∂ y 2 = 0

ρ c p σ μ ∂ ρ U 2 p * ∂ L x * ∂ T 0 T * ∂ L x * + ρ c p σ μ ∂ ρ U 2 p * ∂ L y * ∂ T 0 T * ∂ L y * + k ∂ 2 T 0 T * ∂ L y * 2 = 0

Colocando as constantes para fora das derivadas parciais

ρ c p ρ U 2 T 0 L 2 σ μ ∂ p * ∂ x * ∂ T * ∂ x * + ρ c p ρ U 2 T 0 L 2 σ μ ∂ p * ∂ y * ∂ T * ∂ y * + k T 0 L 2 ∂ 2 T * ∂ y * 2 = 0

Simplificando e colocando em evidência

ρ 2 U 2 c p T 0 L 2 σ μ ∂ p * ∂ x * ∂ T * ∂ x * + ∂ p * ∂ y * ∂ T * ∂ y * + k T 0 L 2 ∂ 2 T * ∂ y * 2 = 0

Multiplicando por L 2 / k T 0

L 2 k T 0 ρ 2 U 2 c p T 0 L 2 σ μ ∂ p * ∂ x * ∂ T * ∂ x * + ∂ p * ∂ y * ∂ T * ∂ y * + ∂ 2 T * ∂ y * 2 = 0

Simplificando

ρ 2 U 2 c p σ k μ ∂ p * ∂ x * ∂ T * ∂ x * + ∂ p * ∂ y * ∂ T * ∂ y * + ∂ 2 T * ∂ y * 2 = 0

Opa! Encontramos aqui a equação adimensionalizada. Temos o fator adimensional

ρ 2 U 2 c p σ k μ

Esse não é nenhum número adimensional muito conhecido aqui em MecFlu.

Resposta

a) σ = L 2

b)

ρ 2 U 2 c p σ k μ ∂ p * ∂ x * ∂ T * ∂ x * + ∂ p * ∂ y * ∂ T * ∂ y * + ∂ 2 T * ∂ y * 2 = 0

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