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Seja , com
Determine o polinômio de Taylor de ordem de em torno do ponto
Usando o item , calcule um valor aproximado para e para . Verifique que o erro em ambas as aproximações é menor do que .
Passo 1
Primeiro vamos achar o polinômio de grau da função
A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem da função
Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função
Passo 2
Agora temos que achar cada termo da função
Passo 3
O polinômio vai ficar
Passo 4
Vamos agora ao valor de , repara que quando então queremos o polinômio em e não em fica atento a isso, devemos sempre ver com cuidado o valor de que devemos usar, então vamos fazer
Passo 5
Vamos agora ao valor de , repara que quando então queremos o polinômio em e não em fica atento a isso, devemos sempre ver com cuidado o valor de que devemos usar, então vamos fazer
Passo 6
Vamos calcular o erro possível para isso agora, primeiro vamos achar o termo do erro, como temos um polinômio de grau o erro vai ser o termo de ordem
Para entre e , vamos começar achando a derivada de
Vamos tomar essa derivada em
O erro vai ficar
Passo 7
Vamos ver esse erro para os dois valores de que temos, primeiro para
Vamos analisar esse erro, repara que vamos ter
Como o expoente de é negativo, quando passarmos o expoente a ordem vai mudar
Vamos pegar aqui apensa o valor maior que é o que nos interessa, saber que o erro é maior que alguém não é tão útil assim.
Multiplicando por
Como queremos que apareça vamos fazer
Vamos ter
Passo 8
Vamos ver esse erro para os dois valores de que temos, primeiro para
Vamos analisar esse erro, repara que vamos ter
Isso acontece porque temos um valor negativo de
Como o expoente de é negativo, quando passarmos o expoente a ordem vai mudar
Vamos pegar aqui apensa o valor maior que é o que nos interessa, saber que o erro é maior que alguém não é tão útil assim.
Queremos um número nessa bagunça então repara que
Então vamos ter
Nos queremos um número porque é mais fácil fazer essas contas com um número, a parada aqui é ir vendo coisas em comum, o objetivo é tentar chegar no bendito .
Multiplicando por
Como vimos antes vamos fazer
Então
Como queremos que apareça vamos fazer
Como vimos com potencia negativa essa desigualdade vira
Resposta
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