Exercícios Resolvidos de Erros

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 29, exercício 10.

O número e pode ser definido por

e = ∑ n = 0 ∞ 1 n !   ,

onde n ! = n n - 1 … 2 × 1 para n ≠ 0 e 0 ! = 1 . Calcule o erro absoluto e relativo das seguintes aproximações de e :

a ∑ n = 0 5 1 n !

b   ∑ n = 0 10 1 n !

Passo 1

Bom, sabemos que o Erro Absoluto é a diferença entre o valor verdadeiro e a aproximação:

E A = x - x _

Onde x é o valor verdadeiro e x _ a aproximação.

Já o Erro Relativo é a relação entre o Erro Absoluto e o valor verdadeiro:

E R = E A x

Nesse caso nosso valor real é o próprio número e e a aproximação é dada pelo enunciado.

Já relembramos o que precisamos para resolver o item (a)

a Vamos abrir o somatório para descobrir o valor da aproximação:

∑ n = 0 5 1 n ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + 1 5 !

Resolvendo os fatoriais temos:

∑ n = 0 5 1 n ! = 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120

= 163 60

Calculando o Erro Absoluto:

E A = x - x _

E A = e - 163 60 = 1.61516 × 10 - 3

Agora o Erro Relativo:

E R = E A x

E R = E A e = 5.94185 × 10 - 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer a mesma coisa para o item (b)

b Vamos abrir o somatório para descobrir o valor da aproximação:

∑ n = 0 10 1 n ! = 1 0 ! + 1 1 ! + … + 1 9 ! + 1 10 ! = 9,864,101 3,628,800

Utilizando uma calculadora chegamos no seguinte valor:

∑ n = 0 10 1 n ! = 9,864,101 3,628,800

Calculando o Erro Absoluto:

E A = x - x _

E A = e - 9,864,101 3,628,800 = 2.73127 × 10 - 8

Agora o Erro Relativo:

E R = E A x

E R = E A e = 1.00478 × 10 - 8

Resposta

a

E A = 1.61516 × 10 - 3

E R = 5.94185 × 10 - 4

b

E A = 2.73127 × 10 - 8

E R = 1.00478 × 10 - 8

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