Exercícios Resolvidos de Eventos Independentes & Mutuamente Exclusivos

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 126-55

(a) Se A, B e C são independentes, prove que Equation são independentes.

(b) Nas mesmas condições, prove que Equation são independentes.

Passo 1

Vamos lá! O que significa dizer que A, B e C são independentes?

Quer dizer que Equation

Pelas propriedades de conjuntos posso dizer que:

Equation

Assim,

Equation

Como B e C são independentes podemos falar que

Equation

Assim do lado esquerdo da igualdade teremos:

Equation

E do lado direito da igualdade teremos:

Equation

Assim concluímos que

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora queremos mostrar que Equation e C são independentes. Ou seja, queremos mostrar que:

Equation

Essa é a nossa hipótese

A ideia agora é desenvolver cada lado da igualdade separadamente e comparar as respostas. Se forem iguais nossa hipótese é verdadeira, se não é falsa. Ok?

Lado esquerdo:

1º passo: Vamos chamar Equation ok?

Equation

2º passo: Sabemos que:

Equation

Substituindo teremos:

Equation

3º passo: Voltando com A e B na expressão teremos:

Equation

4º passo: Sabemos pelo 2º passo que podemos escrever Equation de outra forma, assim

Equation

5º passo: Agora vamos olhar para o Equation ... Lembra que podemos “abrir” ele?

Equation

6º passo: Substituindo tudo na expressão e fazendo as contas

Equation Equation

Equation

Agora guarda esse resultado e vamos olhar pro lado direito da nossa igualdade!

Lado direito:

1º passo: Podemos “abrir” o Equation né?

Equation

2º passo: Fazendo a distribuitiva teremos

Equation

Equation

Opa! Percebe que chegamos a um resultado igual ao anterior? Ou seja, o resultado o lado direito é IGUAL ao resultado do lado esquerdo, o que significa que a nossa hipótese é verdadeira!

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