- Uma onda EM harmônica plana se propaga em um meio dielétrico e tem as componentes do campo elétrico nas direções
e
dadas respectivamente por:
,
, e
.
Considere as dimensões no SI, com
. Determine:
(a) A amplitude do campo elétrico da onda; a frequência da onda em Hz; o comprimento de onda; a fase inicial; a polarização da onda; a direção e sentido do fluxo de energia.
(b) Represente graficamente a propagação desta onda EM nos eixos x-y-z.
(c) O índice de refração do meio.
(d) A energia do fóton associado a esta onda no meio e no vácuo.
(e) Escreva a solução desta onda
no vácuo (quando esta onda sai do meio e se propaga no vácuo).
Considere as dimensões no SI, com
(a) A amplitude do campo elétrico da onda; a frequência da onda em Hz; o comprimento de onda; a fase inicial; a polarização da onda; a direção e sentido do fluxo de energia.
(b) Represente graficamente a propagação desta onda EM nos eixos x-y-z.
(c) O índice de refração do meio.
(d) A energia do fóton associado a esta onda no meio e no vácuo.
(e) Escreva a solução desta onda
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. Dados (peguei exatamente do enunciado):
-
. -
. -
. -
.
O enunciado pede:
(a) amplitude do campo elétrico da onda; frequência em Hz; comprimento de onda; fase inicial; polarização; direção e sentido do fluxo de energia.
(b) representar graficamente a propagação nos eixos -
-
(vou explicar como desenhar).
(c) índice de refração do meio.
(d) energia do fóton associado à onda no meio e no vácuo.
(e) escrever a solução quando a onda sai para o vácuo.
(a) amplitude do campo elétrico da onda; frequência em Hz; comprimento de onda; fase inicial; polarização; direção e sentido do fluxo de energia.
(b) representar graficamente a propagação nos eixos
(c) índice de refração do meio.
(d) energia do fóton associado à onda no meio e no vácuo.
(e) escrever a solução
Passo 2
Entender a forma matemática da onda e extrair
, velocidade de fase e número de onda.
- A fase comum é
. - Escrevendo como
, identificamos: E o termo multiplicando é . - A velocidade de fase (no meio) é
Explicação didática: aqui a fase aparece como
. Em ondas planas típicas se tiver
a onda vai para
; se for
a onda vai para
. Vamos usar isso depois para achar a direção de propagação.
Passo 3
Frequência
e valores numéricos importantes.
- Relação entre frequência temporal e pulsação:
. Assim - Velocidade de fase numérica:
- Número de onda
:
Explicação didática:
é quantas oscilações por segundo;
indica quantas radianos de fase por metro;
é a velocidade com que uma fase fixa se desloca.
Passo 4
Comprimento de onda no meio e amplitude total do campo elétrico.
- Comprimento de onda no meio:
. - Amplitude do campo elétrico resultante (magnitude do vetor amplitude). Os componentes (amplitude) são
e . A amplitude vetorial é
Explicação didática: quando o campo tem componentes constantes de fase, a amplitude total é a norma do vetor amplitude (teorema de Pitágoras).
Passo 5
Fase inicial e forma da fase.
- A fase inicial explícita é
.
Explicação didática: é o deslocamento de fase comum a todas as componentes no instante e posição de referência; aqui ambas as componentese têm a mesma , então estão em fase.
Passo 6
Polarização da onda: tipo e orientação.
- Como
e oscilam com a mesma fase (mesmo argumento trigonométrico) e , a onda é linearmente polarizada no plano . - A direção (vetorial) da polarização é proporcional a
. O ângulo em relação ao eixo (no plano ) satisfaz Portanto
Explicação didática: polarização linear significa que a ponta do vetor
descreve uma reta ao longo do tempo num ponto fixo. O ângulo é obtido pela razão das componentes.
Passo 7
Direção e sentido do fluxo de energia (vetor de Poynting).
- Observando a fase
, o sinal positivo do termo indica que a forma é . Ondas da forma propagam-se no sentido . Logo a onda se propaga no sentido negativo do eixo . - O fluxo de energia (vetor de Poynting) aponta na mesma direção do vetor de propagação: para
.
Explicação didática: para uma onda livre e no formato padrão, o sinal no argumento determina se a frente de onda se move para +z ou -z; o vetor de Poynting S (médio) está na direção de propagação do sinal de energia.
Observação física curta (para não confundir): normalmente ondas EM planas em meio isotrópico são transversais (
), mas aqui o enunciado deu
com componente em
e dependência somente em
, o que matematicamente gera uma componente longitudinal. Para fins do exercício usaremos diretamente a forma dada e as identidades usuais (frequência, velocidade, etc.). (Se fosse necessário, discutiríamos condições de existência dessa solução física.)
Passo 8
Índice de refração do meio.
- Índice de refração
relaciona e por .
Explicação didática:
significa que a velocidade de fase no meio é menor que no vácuo; aqui
dá
.
Passo 9
Energia do fóton associada à onda (no meio e no vácuo).
- Energia de um fóton depende da frequência e vale
, onde . - Como a frequência não muda ao atravessar meios homogêneos, a energia do fóton no meio e no vácuo é a mesma numericamente:
- Em elétron-volt:
Explicação didática: a frequência
é invariante ao atravessar fronteiras (no regime linear e sem fontes extra), logo
não muda; o que muda no meio é o comprimento de onda e o momento do fóton, não sua energia.
Passo 10
Representação gráfica (como desenhar) — instruções passo a passo para o esboço pedido em (b).
- Desenhar um sistema de eixos:
horizontal (para a direita), para fora da página (ou para cima), apontando para cima na folha. Marcar o sentido positivo de cada eixo. - Indicar a direção de propagação da onda: desenhar setas apontando para
(isto é, para baixo se o eixo estiver para cima). Rotular "propagação ". - Em vários planos
const (frentes de onda) desenhar curvas de fase constantes: como a dependência é apenas em e , as frentes são planos perpendiculares ao eixo (linhas horizontais no esboço); elas se deslocam no sentido . - Em um ponto fixo (por exemplo em
) desenhar um pequeno eixo local representando o vetor que oscila no plano ao longo de uma reta inclinada de em relação ao eixo . Mostrar dois instantes (um com apontando na direção , outro com apontando em ) para dar a ideia da oscilação linear. - Não esqueça:
(nenhuma oscilação na direção ). Indicar amplitude total .
Essas instruções permitem construir um gráfico manual claro da propagação e da polarização.
Passo 11
Solução da onda no vácuo (quando sai do meio) — hipóteses e expressão final.
- Hipótese usual: desprezar reflexões (ou assumir transmissão ideal) para escrever a forma transmitida; a frequência permanece
e a fase inicial é mantida na continuidade temporal no instante de saída. - No vácuo a velocidade de fase é
. Logo a fase passa a ser (mantendo a mesma estrutura temporal e sinal). - Substituindo numericamente:
Assim, assumindo amplitudes inalteradas, a solução no vácuo escrita como no enunciado fica:
Explicação didática: ao mudar para o vácuo, a única alteração necessária na fase espacial é substituir
por
, mantendo
e
. Em uma análise mais completa haveria coeficientes de transmissão que alterariam as amplitudes; aqui foi pedido escrever a solução, então mantivemos amplitudes originais.
Resposta
(a) Amplitude do campo elétrico:
.
Frequência: .
Comprimento de onda no meio: .
Fase inicial: .
Polarização: linear no plano , direção dada por
, ângulo em relação a
:
.
Direção e sentido do fluxo de energia: para (isto é, propagação no sentido negativo do eixo
).
Frequência:
Comprimento de onda no meio:
Fase inicial:
Polarização: linear no plano
Direção e sentido do fluxo de energia: para
(b) Gráfico (descrição): frentes de onda planas perpendiculares ao eixo
movendo-se para
; em cada ponto
oscila linearmente no plano
com ângulo
em relação ao eixo
;
.
(c) Índice de refração:
.
(d) Energia do fóton (meio e vácuo):
.
(e) Solução no vácuo (assumindo transmissão sem perda de amplitude):