05(\mathbf{2 , 0 )} - Uma onda EM harmônica plana se propaga em um meio dielétrico e tem as componentes do campo elétrico nas direções \hat{x}, \hat{y} e \hat{z} dadas respectivamente por:
E_{x}=6 \cos \left\{6 \pi \times 10^{14}\left[\left(z / 0.8 c_{0}\right)+t\right]+\pi / 2\right\} \mathrm{V} / \mathrm{m},
E_{y}=0, e
E_{z}=8 \cos \left\{6 \pi \times 10^{14}\left[\left(z / 0.8 c_{0}\right)+t\right]+\pi / 2\right\} \mathrm{V} / \mathrm{m}.
Considere as dimensões no SI, com c_{0}=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
(a) A amplitude do campo elétrico da onda; a frequência da onda em Hz; o comprimento de onda; a fase inicial; a polarização da onda; a direção e sentido do fluxo de energia.
(b) Represente graficamente a propagação desta onda EM nos eixos x-y-z.
(c) O índice de refração do meio.
(d) A energia do fóton associado a esta onda no meio e no vácuo.
(e) Escreva a solução desta onda \mathrm{E}_{\mathrm{x}}, \mathrm{E}_{\mathrm{y}}, \mathrm{E}_{\mathrm{z}} no vácuo (quando esta onda sai do meio e se propaga no vácuo).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. Dados (peguei exatamente do enunciado):
  • E_{x}=6\cos\!\left\{6\pi\times10^{14}\left[\dfrac{z}{0{,}8\,c_{0}}+t\right]+\dfrac{\pi}{2}\right\}\\ \mathrm{V/m}.
  • E_{y}=0.
  • E_{z}=8\cos\!\left\{6\pi\times10^{14}\left[\dfrac{z}{0{,}8\,c_{0}}+t\right]+\dfrac{\pi}{2}\right\}\\ \mathrm{V/m}.
  • c_{0}=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
(a) amplitude do campo elétrico da onda; frequência em Hz; comprimento de onda; fase inicial; polarização; direção e sentido do fluxo de energia.
(b) representar graficamente a propagação nos eixos x- y- z (vou explicar como desenhar).
(c) índice de refração do meio.
(d) energia do fóton associado à onda no meio e no vácuo.
(e) escrever a solução \,E_x,E_y,E_z quando a onda sai para o vácuo.

Passo 2

Entender a forma matemática da onda e extrair \omega, velocidade de fase e número de onda.
  • A fase comum é \Phi(z,t)=6\pi\times10^{14}\!\left[\dfrac{z}{0{,}8\,c_{0}}+t\right]+\dfrac{\pi}{2}.
  • Escrevendo como \Phi=\omega t + k z + \phi_0, identificamos: \omega = 6\pi\times10^{14}\\ \text{rad/s},\qquad \phi_0=\dfrac{\pi}{2}.E o termo multiplicando z é k=\dfrac{\omega}{0{,}8\,c_{0}}.
  • A velocidade de fase (no meio) é v_p=0{,}8\,c_{0}.
Explicação didática: aqui a fase aparece como \omega t + k z+\phi_0. Em ondas planas típicas se tiver \cos(\omega t - k z) a onda vai para +\hat{z}; se for \cos(\omega t + k z) a onda vai para -\hat{z}. Vamos usar isso depois para achar a direção de propagação.

Passo 3

Frequência \,f e valores numéricos importantes.
  • Relação entre frequência temporal e pulsação: \omega=2\pi f. Assim f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{6\pi\times10^{14}}{2\pi}=3\times10^{14}\\ \text{Hz}.
  • Velocidade de fase numérica: v_p=0{,}8\,c_{0}=0{,}8\times3\times10^{8}=2{,}4\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de onda k: k=\dfrac{\omega}{v_p}=\dfrac{6\pi\times10^{14}}{2{,}4\times10^{8}}= \dfrac{6\pi}{2{,}4}\times10^{6}=2{,}5\pi\times10^{6}\\ \mathrm{rad/m}\approx7{,}854\times10^{6}\\ \mathrm{rad/m}.
Explicação didática: f é quantas oscilações por segundo; k indica quantas radianos de fase por metro; v_p é a velocidade com que uma fase fixa se desloca.

Passo 4

Comprimento de onda no meio e amplitude total do campo elétrico.
  • Comprimento de onda no meio: \lambda=\dfrac{v_p}{f}. \lambda=\dfrac{2{,}4\times10^{8}}{3\times10^{14}}=8{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=800\\ \mathrm{nm}.
  • Amplitude do campo elétrico resultante (magnitude do vetor amplitude). Os componentes (amplitude) são E_{0x}=6\\ \mathrm{V/m} e E_{0z}=8\\ \mathrm{V/m}. A amplitude vetorial é E_0=\sqrt{E_{0x}^2+E_{0z}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{V/m}.
Explicação didática: quando o campo tem componentes constantes de fase, a amplitude total é a norma do vetor amplitude (teorema de Pitágoras).

Passo 5

Fase inicial e forma da fase.
  • A fase inicial explícita é \phi_0=\dfrac{\pi}{2}.
    Explicação didática: é o deslocamento de fase comum a todas as componentes no instante e posição de referência; aqui ambas as componentes x e z têm a mesma \phi_0, então estão em fase.

Passo 6

Polarização da onda: tipo e orientação.
  • Como E_x e E_z oscilam com a mesma fase (mesmo argumento trigonométrico) e E_y=0, a onda é linearmente polarizada no plano x\!-\!z.
  • A direção (vetorial) da polarização é proporcional a (E_{0x},E_{0y},E_{0z})=(6,0,8). O ângulo \theta em relação ao eixo x (no plano x\!-\!z) satisfaz \tan\theta=\dfrac{E_{0z}}{E_{0x}}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}.Portanto \theta=\arctan\!\left(\dfrac{4}{3}\right)\approx53{,}13^\circ.
Explicação didática: polarização linear significa que a ponta do vetor \mathbf{E} descreve uma reta ao longo do tempo num ponto fixo. O ângulo é obtido pela razão das componentes.

Passo 7

Direção e sentido do fluxo de energia (vetor de Poynting).
  • Observando a fase \Phi=\omega t + k z + \phi_0, o sinal positivo do termo k z indica que a forma é \cos(\omega t + k z). Ondas da forma \cos(\omega t + k z) propagam-se no sentido -\hat{z}. Logo a onda se propaga no sentido negativo do eixo z.
  • O fluxo de energia (vetor de Poynting) aponta na mesma direção do vetor de propagação: para -\hat{z}.
    Explicação didática: para uma onda livre e no formato padrão, o sinal no argumento determina se a frente de onda se move para +z ou -z; o vetor de Poynting S (médio) está na direção de propagação do sinal de energia.
Observação física curta (para não confundir): normalmente ondas EM planas em meio isotrópico são transversais ( \mathbf{E}\perp\mathbf{k}), mas aqui o enunciado deu E com componente em z e dependência somente em z, o que matematicamente gera uma componente longitudinal. Para fins do exercício usaremos diretamente a forma dada e as identidades usuais (frequência, velocidade, etc.). (Se fosse necessário, discutiríamos condições de existência dessa solução física.)

Passo 8

Índice de refração do meio.
  • Índice de refração n relaciona v_p e c_0 por n=\dfrac{c_{0}}{v_p}. n=\dfrac{c_{0}}{0{,}8\,c_{0}}=\dfrac{1}{0{,}8}=1{,}25.
Explicação didática: n>1 significa que a velocidade de fase no meio é menor que no vácuo; aqui v_p=0{,}8c_0 n=1{,}25.

Passo 9

Energia do fóton associada à onda (no meio e no vácuo).
  • Energia de um fóton depende da frequência e vale E_{\text{fóton}}=h fó, onde h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Como a frequência não muda ao atravessar meios homogêneos, a energia do fóton no meio e no vácuo é a mesma numericamente: E=h f=6{,}626\times10^{-34}\times3\times10^{14}=1{,}9878\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Em elétron-volt: 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\quad\Rightarrow\quad E\approx\dfrac{1{,}9878\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}}\approx1{,}24\\ \mathrm{eV}.
Explicação didática: a frequência f é invariante ao atravessar fronteiras (no regime linear e sem fontes extra), logo E_{\text{fóton}}ó não muda; o que muda no meio é o comprimento de onda e o momento do fóton, não sua energia.

Passo 10

Representação gráfica (como desenhar) — instruções passo a passo para o esboço pedido em (b).
  1. Desenhar um sistema de eixos: x horizontal (para a direita), y para fora da página (ou para cima), z apontando para cima na folha. Marcar o sentido positivo de cada eixo.
  2. Indicar a direção de propagação da onda: desenhar setas apontando para -\hat{z} (isto é, para baixo se o eixo z estiver para cima). Rotular "propagação -\hat{z}".
  3. Em vários planos z= const (frentes de onda) desenhar curvas de fase constantes: como a dependência é apenas em z e t, as frentes são planos perpendiculares ao eixo z (linhas horizontais no esboço); elas se deslocam no sentido -z.
  4. Em um ponto fixo (por exemplo em z=0) desenhar um pequeno eixo local representando o vetor \mathbf{E} que oscila no plano x\!-\!z ao longo de uma reta inclinada de \approx53{,}13^\circ em relação ao eixo x. Mostrar dois instantes (um com \mathbf{E} apontando na direção (+6,0,+8), outro com \mathbf{E} apontando em (-6,0,-8)) para dar a ideia da oscilação linear.
  5. Não esqueça: E_y=0 (nenhuma oscilação na direção y). Indicar amplitude total E_0=10\\ \mathrm{V/m}.
    Essas instruções permitem construir um gráfico manual claro da propagação e da polarização.

Passo 11

Solução da onda no vácuo (quando sai do meio) — hipóteses e expressão final.
  • Hipótese usual: desprezar reflexões (ou assumir transmissão ideal) para escrever a forma transmitida; a frequência permanece f e a fase inicial \phi_0 é mantida na continuidade temporal no instante de saída.
  • No vácuo a velocidade de fase é c_{0}. Logo a fase passa a ser \Phi_{\text{vac}}=\omega\left[t+\dfrac{z}{c_{0}}\right]+\phi_0 (mantendo a mesma estrutura temporal e sinal).
  • Substituindo numericamente: \omega=6\pi\times10^{14},\qquad \phi_0=\dfrac{\pi}{2}.Assim, assumindo amplitudes inalteradas, a solução no vácuo escrita como no enunciado fica: E_x^{(\text{vac})}=6\cos\!\left\{6\pi\times10^{14}\left[\dfrac{z}{c_{0}}+t\right]+\dfrac{\pi}{2}\right\}\\ \mathrm{V/m},
E_y^{(\text{vac})}=0,
E_z^{(\text{vac})}=8\cos\!\left\{6\pi\times10^{14}\left[\dfrac{z}{c_{0}}+t\right]+\dfrac{\pi}{2}\right\}\\ \mathrm{V/m}.
Explicação didática: ao mudar para o vácuo, a única alteração necessária na fase espacial é substituir v_p=0{,}8c_0 por c_0, mantendo \omega e \phi_0. Em uma análise mais completa haveria coeficientes de transmissão que alterariam as amplitudes; aqui foi pedido escrever a solução, então mantivemos amplitudes originais.

Resposta

(a) Amplitude do campo elétrico: E_0=10\\ \mathrm{V/m}.
Frequência: f=3\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Comprimento de onda no meio: \lambda=8{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Fase inicial: \phi_0=\dfrac{\pi}{2}.
Polarização: linear no plano x\!-\!z, direção dada por (6,0,8), ângulo em relação a x: \theta=\arctan\!\left(\dfrac{4}{3}\right)\approx53{,}13^\circ.
Direção e sentido do fluxo de energia: para -\hat{z} (isto é, propagação no sentido negativo do eixo z).
(b) Gráfico (descrição): frentes de onda planas perpendiculares ao eixo z movendo-se para -\hat{z}; em cada ponto \mathbf{E} oscila linearmente no plano x\!-\!z com ângulo \approx53{,}13^\circ em relação ao eixo x; E_y=0.
(c) Índice de refração: n=1{,}25.
(d) Energia do fóton (meio e vácuo): E=h f=1{,}9878\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx1{,}24\\ \mathrm{eV}.
(e) Solução no vácuo (assumindo transmissão sem perda de amplitude):
E_x^{(\text{vac})}=6\cos\!\left\{6\pi\times10^{14}\left[\dfrac{z}{c_{0}}+t\right]+\dfrac{\pi}{2}\right\}\\ \mathrm{V/m},
E_y^{(\text{vac})}=0,
E_z^{(\text{vac})}=8\cos\!\left\{6\pi\times10^{14}\left[\dfrac{z}{c_{0}}+t\right]+\dfrac{\pi}{2}\right\}\\ \mathrm{V/m}.

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