10-) Uma caixa é separada por uma partição q divide o volume na razão 3:1. A porção maior da caixa contém 1000 moléculas de Ne, a menor contém 100 moléculas de He. Um pequeno furo é feito na partição e esperamos até o equilíbrio.
a-) Encontre o número médio de moléculas de cada tipo em cada lado da partição.
b-) Qual é a probabilidade de encontrar 1000 moléculas do gás Ne e 100 moléculas do gás He na porção menor (a mesma proporção inicial)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
  • A caixa está dividida em duas porções por uma partição que separa os volumes na razão 3:1. Ou seja, a porção maior tem 3 partes de volume e a porção menor tem 1 parte.
  • Inicialmente a porção maior contém 1000 moléculas de Ne (néon).
  • Inicialmente a porção menor contém 100 moléculas de He (hélio).
  • Faz-se um pequeno furo na partição e aguarda-se até o equilíbrio (as moléculas podem cruzar livremente a partição).
    As perguntas:
    (a) Encontre o número médio (esperado) de moléculas de cada tipo em cada lado da partição quando atingir o equilíbrio.
    (b) Qual é a probabilidade de encontrar exatamente 1000 moléculas de Ne e 100 moléculas de He na porção menor (isto é, a mesma distribuição inicial)?

Passo 2

Discussão das hipóteses e do modelo que vamos usar (explicação didática).
  • Quando há um pequeno furo e estamos em equilíbrio, cada molécula, independentemente das demais, tem probabilidade de ocupar cada porção proporcional ao volume dessa porção. Não é preciso saber energia ou temperaturas para essa pergunta de contagem — tratamos as posições como eventos aleatórios independentes com probabilidade baseada no volume.
  • Como a razão dos volumes é 3:1, a fração do volume total ocupada pela porção maior é
\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4},
e a fração ocupada pela porção menor é
\frac{1}{3+1}=\frac{1}{4}.
  • Assim, para cada molécula (seja Ne ou He) a probabilidade de estar na porção menor é p=\tfrac{1}{4} e na porção maior é 1-p=\tfrac{3}{4}.
  • Para modelar o número de moléculas de uma espécie numa porção usamos a distribuição binomial: se há n moléculas independentes e cada uma tem probabilidade p de “sair” para a porção menor, então o número X de moléculas nessa porção tem distribuição
X\sim\mathrm{Bin}(n,p),
com média (valor esperado)
\mathbb{E}[X]=n p
e variância
\mathrm{Var}(X)=n p(1-p).
Explicação rápida: a média np é o que se obtém se somarmos as probabilidades de cada molécula estar na porção (cada molécula contribui, em média, com p para a contagem). A variância mede a dispersão típica ao redor da média; o desvio-padrão é \sqrt{n p(1-p)}.

Passo 3

Cálculo do número médio pedido na parte (a).
  • Para o Ne: o total de moléculas de Ne é n_{\mathrm{Ne}}=1000. A probabilidade de cada Ne estar na porção menor é p=\tfrac{1}{4}. Logo o número médio de Ne na porção menor é
\mathbb{E}[X_{\mathrm{Ne, menor}}]=1000\cdot\frac{1}{4}=250.
O número médio de Ne na porção maior é o restante
\mathbb{E}[X_{\mathrm{Ne, maior}}]=1000-250=750.
  • Para o He: o total é n_{\mathrm{He}}=100. O número médio de He na porção menor é
\mathbb{E}[X_{\mathrm{He, menor}}]=100\cdot\frac{1}{4}=25.
O número médio de He na porção maior é
\mathbb{E}[X_{\mathrm{He, maior}}]=100-25=75.
Para dar uma sensação das flutuações típicas (útil na prova): as raízes das variâncias são
\sigma_{\mathrm{Ne, menor}}=\sqrt{1000\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}}=\sqrt{187{,}5}\approx13{,}7,
\sigma_{\mathrm{He, menor}}=\sqrt{100\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}}=\sqrt{18{,}75}\approx4{,}33.
Isto significa que, tipicamente, o número de Ne na porção menor ficará em torno de 250\pm13{,}7 e o de He em torno de 25\pm4{,}33.

Passo 4

Cálculo da probabilidade pedida na parte (b).
  • A probabilidade de que exatamente 1000 moléculas de Ne estejam na porção menor é (pela binomial)
P(X_{\mathrm{Ne, menor}}=1000)=\binom{1000}{1000}\left(\frac{1}{4}\right)^{1000}\left(\frac{3}{4}\right)^{0}=\left(\frac{1}{4}\right)^{1000}.
Isto corresponde a todos os 1000 Ne terem ido para a porção menor.
  • A probabilidade de que exatamente 100 moléculas de He estejam na porção menor é
P(X_{\mathrm{He, menor}}=100)=\left(\frac{1}{4}\right)^{100}.
  • Como os movimentos das moléculas são independentes entre si, os eventos relativos a Ne e He são independentes; portanto a probabilidade conjunta de ambos os acontecimentos (ter exatamente 1000 Ne e exatamente 100 He na porção menor) é o produto:
P=\left(\frac{1}{4}\right)^{1000}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{100}=\left(\frac{1}{4}\right)^{1100}=4^{-1100}.
  • Essa probabilidade é absurdamente pequena. Para uma ordem de grandeza decimal podemos calcular
\log_{10}P=-1100\log_{10}4\approx-1100\cdot0{,}6020599\approx-662{,}266,
logo
P\approx10^{-662{,}266}\approx5{,}43\times10^{-663}.
Ou seja, praticamente zero — encontrar exatamente a distribuição inicial (todos os Ne e todos os He na porção menor) é praticamente impossível por flutuação aleatória.

Passo 5

Resumo prático (como aplicar isso rápido na prova):
  • Identifique a fração de volume de cada porção; essa é a probabilidade p de cada molécula estar nessa porção.
  • Para o número médio de uma espécie: use \mathbb{E}=n p.
  • Para probabilidades de contar exatamente k moléculas use a binomial \displaystyle P=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}. Se k=n isso simplifica para p^{n}.
  • Se precisar de ordem de grandeza de probabilidades muito pequenas, calcule \log_{10} para converter em potência de 10.

Resposta

(a) Ne: porção maior 750, porção menor 250
(a) He: porção maior 75, porção menor 25
(b) \left(\dfrac{1}{4}\right)^{1100}\approx5{,}43\times10^{-663}

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