10-) Uma caixa é separada por uma partição q divide o volume na razão 3:1. A porção maior da caixa contém 1000 moléculas de Ne, a menor contém 100 moléculas de He. Um pequeno furo é feito na partição e esperamos até o equilíbrio.
a-) Encontre o número médio de moléculas de cada tipo em cada lado da partição.
b-) Qual é a probabilidade de encontrar 1000 moléculas do gás Ne e 100 moléculas do gás He na porção menor (a mesma proporção inicial)
a-) Encontre o número médio de moléculas de cada tipo em cada lado da partição.
b-) Qual é a probabilidade de encontrar 1000 moléculas do gás Ne e 100 moléculas do gás He na porção menor (a mesma proporção inicial)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
- A caixa está dividida em duas porções por uma partição que separa os volumes na razão
. Ou seja, a porção maior tem partes de volume e a porção menor tem parte. - Inicialmente a porção maior contém
moléculas de Ne (néon). - Inicialmente a porção menor contém
moléculas de He (hélio). - Faz-se um pequeno furo na partição e aguarda-se até o equilíbrio (as moléculas podem cruzar livremente a partição).
As perguntas:
(a) Encontre o número médio (esperado) de moléculas de cada tipo em cada lado da partição quando atingir o equilíbrio.
(b) Qual é a probabilidade de encontrar exatamentemoléculas de Ne e moléculas de He na porção menor (isto é, a mesma distribuição inicial)?
Passo 2
Discussão das hipóteses e do modelo que vamos usar (explicação didática).
- Quando há um pequeno furo e estamos em equilíbrio, cada molécula, independentemente das demais, tem probabilidade de ocupar cada porção proporcional ao volume dessa porção. Não é preciso saber energia ou temperaturas para essa pergunta de contagem — tratamos as posições como eventos aleatórios independentes com probabilidade baseada no volume.
- Como a razão dos volumes é
, a fração do volume total ocupada pela porção maior é
e a fração ocupada pela porção menor é
- Assim, para cada molécula (seja Ne ou He) a probabilidade de estar na porção menor é
e na porção maior é . - Para modelar o número de moléculas de uma espécie numa porção usamos a distribuição binomial: se há
moléculas independentes e cada uma tem probabilidade de “sair” para a porção menor, então o número de moléculas nessa porção tem distribuição
com média (valor esperado)
e variância
Explicação rápida: a média
é o que se obtém se somarmos as probabilidades de cada molécula estar na porção (cada molécula contribui, em média, com
para a contagem). A variância mede a dispersão típica ao redor da média; o desvio-padrão é
.
Passo 3
Cálculo do número médio pedido na parte (a).
- Para o Ne: o total de moléculas de Ne é
. A probabilidade de cada Ne estar na porção menor é . Logo o número médio de Ne na porção menor é
O número médio de Ne na porção maior é o restante
- Para o He: o total é
. O número médio de He na porção menor é
O número médio de He na porção maior é
Para dar uma sensação das flutuações típicas (útil na prova): as raízes das variâncias são
Isto significa que, tipicamente, o número de Ne na porção menor ficará em torno de
e o de He em torno de
.
Passo 4
Cálculo da probabilidade pedida na parte (b).
- A probabilidade de que exatamente
moléculas de Ne estejam na porção menor é (pela binomial)
Isto corresponde a todos os
Ne terem ido para a porção menor.
- A probabilidade de que exatamente
moléculas de He estejam na porção menor é
- Como os movimentos das moléculas são independentes entre si, os eventos relativos a Ne e He são independentes; portanto a probabilidade conjunta de ambos os acontecimentos (ter exatamente
Ne e exatamente He na porção menor) é o produto:
- Essa probabilidade é absurdamente pequena. Para uma ordem de grandeza decimal podemos calcular
logo
Ou seja, praticamente zero — encontrar exatamente a distribuição inicial (todos os Ne e todos os He na porção menor) é praticamente impossível por flutuação aleatória.
Passo 5
Resumo prático (como aplicar isso rápido na prova):
- Identifique a fração de volume de cada porção; essa é a probabilidade
de cada molécula estar nessa porção. - Para o número médio de uma espécie: use
. - Para probabilidades de contar exatamente
moléculas use a binomial . Se isso simplifica para . - Se precisar de ordem de grandeza de probabilidades muito pequenas, calcule
para converter em potência de .
Resposta
(a) Ne: porção maior
, porção menor
(a) He: porção maior , porção menor
(b)
(a) He: porção maior
(b)