7.10 (a) Enuncie a lei circuital de Ampère.
(b) Um fio infinitamente longo, de raio
, está ao longo do eixo z e é percorrido por uma corrente 1 ao longo de
. Aplicando a lei circuital de Ampère, determine
em qualquer ponto. Esboce
como função de
.
(b) Um fio infinitamente longo, de raio
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Enunciar a lei circuital de Ampère.
- (b) Para um fio infinitamente longo, de raio
, situado ao longo do eixo e percorrido por uma corrente na direção do eixo (peguei do enunciado que a corrente é o símbolo e que o fio está ao longo do eixo ), determinar em qualquer ponto do espaço e esboçar como função de (distância radial ao eixo).
Informações relevantes dadas:
- O fio é cilíndrico, raio
, estende-se indefinidamente ao longo do eixo . - A corrente total que percorre o fio é
, na direção (ou se for o sentido oposto; aqui tomamos como convensão). - Não foi explicitado no enunciado a distribuição da corrente dentro do fio; vou assumir a hipótese usual e natural para este tipo de problema: a corrente está distribuída de forma uniforme na seção transversal do fio (densidade de corrente constante). Se a distribuição fosse diferente, a solução para
mudaria.
Passo 2
Ensinando a lei (conceito e notação). A lei circuital de Ampère em sua forma integral (usada para problemas estáticos de corrente contínua) diz que a circulação de
ao longo de um contorno fechado
é igual à corrente elétrica total livre atravessando qualquer superfície
limitada por
. Em notação:
onde:
-
é a intensidade de campo magnético (unidade A/m), -
é um elemento de comprimento ao longo do contorno , -
é a corrente elétrica total (corrente livre) atravessando a superfície limitada por .
Também existe a forma diferencial relacionada:
onde
é a densidade de corrente (A/m
). Mas aqui usaremos a forma integral porque facilita usar simetria.
Observação útil: em meios lineares e isotrópicos relaciona-se
(em vácuo
). Não precisamos dessa relação para achar
se usamos diretamente Ampère.
Passo 3
Escolha do contorno e argumento de simetria (por que a solução terá forma simples). O fio é infinito e uniforme ao longo de
, e a distribuição de corrente (assumida uniforme) é independente do ângulo azimutal. Assim:
- Há simetria cilíndrica: o campo depende apenas da distância radial
ao eixo. - Direção do campo: pela simetria e pela regra da mão direita,
deve ser tangencial às circunferências centradas no eixo (ou seja, na direção azimutal ). Portanto podemos escrever
Para aplicar Ampère, escolhemos um loop circular de raio
, centrado no eixo e contido em um plano perpendicular a
. Nesse loop o módulo de
é constante ao longo do caminho e
é tangente a ele, então a integral fica simples:
Passo 4
Caso externo:
(ponto fora do fio).
Aqui toda a corrente está contida dentro do círculo de raio
, então
. Aplicando Ampère:
Aqui toda a corrente
Portanto, a expressão vetorial é
Direção: pelo sentido da corrente
, o campo segue a regra da mão direita; escrevemos
no sentido convencional corresponde ao campo circular obtido.
Passo 5
Caso interno:
(ponto dentro do fio).
Precisamos do valor da corrente que está dentro do raio . Com a hipótese de densidade de corrente uniforme, a densidade de corrente (magnitude) é
Precisamos do valor da corrente que está dentro do raio
pois a área da seção é
. A corrente encerrada por um círculo de raio
é a densidade
multiplicada pela área do círculo de raio
:
Aplicando Ampère ao loop de raio
:
Logo
Em forma vetorial:
Passo 6
Verificações e interpretação física (importante para a prova):
- Continuidade na superfície
: para ,
e para
,
Logo
é contínuo em
, como esperado (não havendo superfícies com correntes de superfície).
- Comportamento no centro: quando
dentro do fio, (proporcional a ). Isso faz sentido: bem no eixo o campo tangencial se anula. - Comportamento longe do fio: para
, decai como . - Forma de
em função de : é linear crescente dentro do fio (proporcional a para ), atinge valor em , e então decai como para . Assim o gráfico é uma linha reta passando pela origem até , seguida por uma hipérbole decrescente fora.
Passo 7
Resumo das fórmulas obtidas (pronto para decorar e usar na prova):
- Para
:
- Para
:
Resposta
(a)
.
(b)