7.10 (a) Enuncie a lei circuital de Ampère.
(b) Um fio infinitamente longo, de raio a, está ao longo do eixo z e é percorrido por uma corrente 1 ao longo de \mathbf{a}_{2}. Aplicando a lei circuital de Ampère, determine \mathbf{H} em qualquer ponto. Esboce |\mathbf{H}| como função de \rho.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Enunciar a lei circuital de Ampère.
  • (b) Para um fio infinitamente longo, de raio a, situado ao longo do eixo z e percorrido por uma corrente I na direção do eixo z (peguei do enunciado que a corrente é o símbolo I e que o fio está ao longo do eixo z), determinar \mathbf{H} em qualquer ponto do espaço e esboçar |\mathbf{H}| como função de \rho (distância radial ao eixo).
Informações relevantes dadas:
  • O fio é cilíndrico, raio a, estende-se indefinidamente ao longo do eixo z.
  • A corrente total que percorre o fio é I, na direção +\mathbf{a}_z (ou -\mathbf{a}_z se for o sentido oposto; aqui tomamos +\mathbf{a}_z como convensão).
  • Não foi explicitado no enunciado a distribuição da corrente dentro do fio; vou assumir a hipótese usual e natural para este tipo de problema: a corrente está distribuída de forma uniforme na seção transversal do fio (densidade de corrente constante). Se a distribuição fosse diferente, a solução para \rho<a mudaria.

Passo 2

Ensinando a lei (conceito e notação). A lei circuital de Ampère em sua forma integral (usada para problemas estáticos de corrente contínua) diz que a circulação de \mathbf{H} ao longo de um contorno fechado C é igual à corrente elétrica total livre atravessando qualquer superfície S limitada por C. Em notação:
\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}},
onde:
  • \mathbf{H} é a intensidade de campo magnético (unidade A/m),
  • d\mathbf{l} é um elemento de comprimento ao longo do contorno C,
  • I_{\text{enc}} é a corrente elétrica total (corrente livre) atravessando a superfície S limitada por C.
    Também existe a forma diferencial relacionada:
\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J},
onde \mathbf{J} é a densidade de corrente (A/m ^2). Mas aqui usaremos a forma integral porque facilita usar simetria.
Observação útil: em meios lineares e isotrópicos relaciona-se \mathbf{B}=\mu\mathbf{H} (em vácuo \mu=\mu_0). Não precisamos dessa relação para achar \mathbf{H} se usamos diretamente Ampère.

Passo 3

Escolha do contorno e argumento de simetria (por que a solução terá forma simples). O fio é infinito e uniforme ao longo de z, e a distribuição de corrente (assumida uniforme) é independente do ângulo azimutal. Assim:
  • Há simetria cilíndrica: o campo depende apenas da distância radial \rho ao eixo.
  • Direção do campo: pela simetria e pela regra da mão direita, \mathbf{H} deve ser tangencial às circunferências centradas no eixo (ou seja, na direção azimutal \mathbf{a}_\varphi). Portanto podemos escrever
\mathbf{H}(\rho)=H_\varphi(\rho)\,\mathbf{a}_\varphi.
Para aplicar Ampère, escolhemos um loop circular de raio \rho, centrado no eixo e contido em um plano perpendicular a z. Nesse loop o módulo de \mathbf{H} é constante ao longo do caminho e \mathbf{H} é tangente a ele, então a integral fica simples:
\oint_C\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=H_\varphi(\rho)\cdot(2\pi\rho).

Passo 4

Caso externo: \rho\ge a (ponto fora do fio).
Aqui toda a corrente I está contida dentro do círculo de raio \rho, então I_{\text{enc}}=I. Aplicando Ampère:
H_\varphi(\rho)\cdot(2\pi\rho)=I \quad\Rightarrow\quad H_\varphi(\rho)=\frac{I}{2\pi\rho}.
Portanto, a expressão vetorial é
\mathbf{H}(\rho)=\frac{I}{2\pi\rho}\,\mathbf{a}_\varphi,\qquad (\rho\ge a).
Direção: pelo sentido da corrente +\mathbf{a}_z, o campo segue a regra da mão direita; escrevemos \mathbf{a}_\varphi no sentido convencional corresponde ao campo circular obtido.

Passo 5

Caso interno: \rho<a (ponto dentro do fio).
Precisamos do valor da corrente que está dentro do raio \rho. Com a hipótese de densidade de corrente uniforme, a densidade de corrente (magnitude) é
J=\frac{I}{\pi a^{2}},
pois a área da seção é \pi a^{2}. A corrente encerrada por um círculo de raio \rho é a densidade J multiplicada pela área do círculo de raio \rho:
I_{\text{enc}}=J\cdot (\pi \rho^{2})=\frac{I}{\pi a^{2}}\cdot\pi\rho^{2}=I\frac{\rho^{2}}{a^{2}}.
Aplicando Ampère ao loop de raio \rho:
H_\varphi(\rho)\cdot(2\pi\rho)=I_{\text{enc}}=I\frac{\rho^{2}}{a^{2}}.
Logo
H_\varphi(\rho)=\frac{I}{2\pi}\,\frac{\rho}{a^{2}}.
Em forma vetorial:
\mathbf{H}(\rho)=\frac{I}{2\pi}\,\frac{\rho}{a^{2}}\,\mathbf{a}_\varphi,\qquad (\rho<a).

Passo 6

Verificações e interpretação física (importante para a prova):
  • Continuidade na superfície \rho=a: para \rho\to a^{-},
H_\varphi(a^-)=\frac{I}{2\pi}\frac{a}{a^{2}}=\frac{I}{2\pi a},
e para \rho\to a^{+},
H_\varphi(a^+)=\frac{I}{2\pi a}.
Logo H é contínuo em \rho=a, como esperado (não havendo superfícies com correntes de superfície).
  • Comportamento no centro: quando \rho\to 0 dentro do fio, H_\varphi\to 0 (proporcional a \rho). Isso faz sentido: bem no eixo o campo tangencial se anula.
  • Comportamento longe do fio: para \rho\to\infty, H_\varphi decai como 1/\rho.
  • Forma de |\mathbf{H}| em função de \rho: é linear crescente dentro do fio (proporcional a \rho para 0\le\rho\le a), atinge valor \dfrac{I}{2\pi a} em \rho=a, e então decai como 1/\rho para \rho\ge a. Assim o gráfico é uma linha reta passando pela origem até \rho=a, seguida por uma hipérbole 1/\rho decrescente fora.

Passo 7

Resumo das fórmulas obtidas (pronto para decorar e usar na prova):
  • Para \rho<a:
\mathbf{H}(\rho)=\frac{I}{2\pi}\,\frac{\rho}{a^{2}}\,\mathbf{a}_\varphi.
  • Para \rho\ge a:
\mathbf{H}(\rho)=\frac{I}{2\pi\rho}\,\mathbf{a}_\varphi.

Resposta

(a) \displaystyle \oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}}.
(b) \displaystyle \mathbf{H}(\rho)=\frac{I}{2\pi}\,\frac{\rho}{a^{2}}\,\mathbf{a}_\varphi\quad(\rho<a)
\displaystyle \mathbf{H}(\rho)=\frac{I}{2\pi\rho}\,\mathbf{a}_\varphi\quad(\rho\ge a)

Exercícios relacionados